Чтобы решить систему уравнений:

1. x + y² = 7
2. xy² = 12

Начнем с первого уравнения и выразим x через y:

x = 7 - y²

Теперь подставим это выражение для x во второе уравнение:

(7 - y²)y² = 12

Раскроем скобки:

7y² - y⁴ = 12

Теперь перенесем все в одну сторону уравнения:

y⁴ - 7y² + 12 = 0

Это уравнение является квадратным по отношению к y². Для удобства сделаем замену: пусть z = y². Тогда уравнение примет вид:

z² - 7z + 12 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:

z1 = (7 + √1) / 2 = (7 + 1) / 2 = 8 / 2 = 4

z2 = (7 - √1) / 2 = (7 - 1) / 2 = 6 / 2 = 3

Теперь вернемся к переменной y:

• Если z1 = 4, то y² = 4, следовательно, y = ±2.
• Если z2 = 3, то y² = 3, следовательно, y = ±√3.

Теперь подставим найденные значения y обратно в выражение для x:

• Для y = 2: x = 7 - (2)² = 7 - 4 = 3.
• Для y = -2: x = 7 - (-2)² = 7 - 4 = 3.
• Для y = √3: x = 7 - (√3)² = 7 - 3 = 4.
• Для y = -√3: x = 7 - (-√3)² = 7 - 3 = 4.

Таким образом, у нас есть 4 решения для системы уравнений:

• (3, 2)
• (3, -2)
• (4, √3)
• (4, -√3)

Это и есть все возможные решения данной системы уравнений.