Как решить следующие неравенства?

1. No1
   • a) (х-2)(х-3)(х-4) > 0
   • b) (х^2+3х)(2х-1) <= 0
2. No2
   • a) (х-4)/(х+1) > 0
   • b) (3х-4)/(х-1) > 2
   • в) (х^2-9)/(х+2) >= 0

Алгебра 8 класс Неравенства решение неравенств алгебра 8 класс неравенства с произведением неравенства с дробями алгебраические неравенства Новый

Давайте разберем каждое из данных неравенств по порядку. Я объясню шаги, которые необходимо выполнить для их решения.

1. Неравенство (х-2)(х-3)(х-4) > 0

Для решения этого неравенства мы воспользуемся методом интервалов:

1. Находим нули произведения: х-2=0, х-3=0, х-4=0. Это дает нам точки х=2, х=3, х=4.
2. Эти точки делят числовую прямую на 4 интервала: (-∞, 2), (2, 3), (3, 4), (4, ∞).
3. Теперь нужно определить знак произведения на каждом из интервалов. Выбираем тестовую точку из каждого интервала:
• Для (-∞, 2) возьмем х=0: (0-2)(0-3)(0-4) < 0.
• Для (2, 3) возьмем х=2.5: (2.5-2)(2.5-3)(2.5-4) < 0.
• Для (3, 4) возьмем х=3.5: (3.5-2)(3.5-3)(3.5-4) > 0.
• Для (4, ∞) возьмем х=5: (5-2)(5-3)(5-4) > 0.
4. Теперь мы знаем, что неравенство (х-2)(х-3)(х-4) > 0 верно на интервалах (3, 4) и (4, ∞).
5. Ответ: х ∈ (3, 4) ∪ (4, ∞).

2. Неравенство (х^2+3х)(2х-1) ≥ 0

Аналогично, сначала найдем нули каждого множителя:

1. х^2 + 3х = 0 ⇒ х(х + 3) = 0 ⇒ х = 0 или х = -3.
2. 2х - 1 = 0 ⇒ х = 0.5.
3. Теперь у нас есть нули: х = -3, х = 0, х = 0.5. Эти точки делят ось на 4 интервала: (-∞, -3), (-3, 0), (0, 0.5), (0.5, ∞).
4. Проверяем знаки на интервалах:
• Для (-∞, -3) возьмем х=-4: (-)(-) > 0.
• Для (-3, 0) возьмем х=-1: (-)(-) > 0.
• Для (0, 0.5) возьмем х=0.25: (+)(-) < 0.
• Для (0.5, ∞) возьмем х=1: (+)(+) > 0.
5. Неравенство ≥ 0 выполняется на интервалах (-∞, -3), (-3, 0) и (0.5, ∞), включая нули.
6. Ответ: х ∈ (-∞, -3] ∪ [-3, 0] ∪ [0.5, ∞).

3. Неравенство (3х-4)/(х-1) > 2

Сначала перенесем 2 на левую сторону:

(3х-4)/(х-1) - 2 > 0.

Приводим к общему знаменателю:

(3х-4 - 2(х-1))/(х-1) > 0.

Упрощаем числитель:

(3х - 4 - 2х + 2)/(х-1) > 0.

(х - 2)/(х - 1) > 0.

Теперь находим нули: х - 2 = 0 ⇒ х = 2 и х - 1 = 0 ⇒ х = 1.

Эти точки делят прямую на 3 интервала: (-∞, 1), (1, 2), (2, ∞).

Проверяем знаки:

• Для (-∞, 1) возьмем х=0: (-)/(−) > 0.
• Для (1, 2) возьмем х=1.5: (+)/(−) < 0.
• Для (2, ∞) возьмем х=3: (+)/(+) > 0.

Неравенство выполняется на интервалах (-∞, 1) и (2, ∞).

Ответ: х ∈ (-∞, 1) ∪ (2, ∞).

4. Неравенство (х^2-9)/(х+2) ≥ 0

Сначала найдем нули числителя и знаменателя:

1. х^2 - 9 = 0 ⇒ (х - 3)(х + 3) = 0 ⇒ х = 3 или х = -3.
2. х + 2 = 0 ⇒ х = -2.
3. Теперь у нас есть нули: х = -3, х = -2, х = 3. Эти точки делят ось на 4 интервала: (-∞, -3), (-3, -2), (-2, 3), (3, ∞).
4. Проверяем знаки:
• Для (-∞, -3) возьмем х=-4: (+)/(−) < 0.
• Для (-3, -2) возьмем х=-2.5: (−)/(−) > 0.
• Для (-2, 3) возьмем х=0: (−)/(+) < 0.
• Для (3, ∞) возьмем х=4: (+)/(+) > 0.
5. Неравенство ≥ 0 выполняется на интервалах [-3, -2) и (3, ∞).
6. Ответ: х ∈ [-3, -2) ∪ (3, ∞).

Надеюсь, это поможет вам лучше понять, как решать неравенства! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.