Давайте поочередно решим каждое из данных выражений, объясняя шаги решения.

• Сначала вспомним, что отрицательная степень означает, что мы берем обратное значение. То есть, 25 ^ (-1/2) = 1 / (25 ^ (1/2)).
• Теперь найдем корень из 25. Корень второй степени из 25 равен 5, так как 5 * 5 = 25.
• Таким образом, 25 ^ (-1/2) = 1 / 5.

• При умножении степеней с одинаковым основанием мы складываем показатели. То есть, a ^ (1/7) * a ^ (3/2) = a ^ (1/7 + 3/2).
• Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 7 и 2 равен 14.
• Приведем дроби к общему знаменателю: 1/7 = 2/14 и 3/2 = 21/14.
• Теперь складываем: 2/14 + 21/14 = 23/14.
• Таким образом, a ^ (1/7) * a ^ (3/2) = a ^ (23/14).

• Это выражение можно записать как (6 ^ 5) ^ (1/4), что означает, что мы берем четвертую степень корня из 6 в пятой степени.
• По свойству степеней мы можем перемножить показатели: (6 ^ 5) ^ (1/4) = 6 ^ (5/4).
• Таким образом, root(6 ^ 5, 4) = 6 ^ (5/4).

• Сначала преобразуем отрицательную степень: (27) ^ (-1/5) = 1 / (27) ^ (1/5).
• Теперь найдем корень пятой степени из 27. Поскольку 3 ^ 3 = 27, то 27 = 3 ^ 3, и (27) ^ (1/5) = (3 ^ 3) ^ (1/5) = 3 ^ (3/5).
• Таким образом, (27) ^ (-1/5) = 1 / (3 ^ (3/5)).

• Это выражение уже в простом виде. Мы можем оставить его как есть: g ^ (3/2).

• Сначала сложим показатели степеней, используя правило умножения: c ^ (3/8 + 4 + (-8)).
• Приведем 4 и -8 к общему знаменателю 8: 4 = 32/8 и -8 = -64/8.
• Теперь складываем: 3/8 + 32/8 - 64/8 = (3 + 32 - 64) / 8 = -29 / 8.
• Таким образом, c ^ (3/8) * c ^ 4 * c ^ (-8) = c ^ (-29/8).

Теперь у нас есть все ответы:

• 25 ^ (-1/2) = 1/5
• a ^ (1/7) * a ^ (3/2) = a ^ (23/14)
• root(6 ^ 5, 4) = 6 ^ (5/4)
• (27) ^ (-1/5) = 1 / (3 ^ (3/5))
• g ^ (3/2) = g ^ (3/2)
• c ^ (3/8) * c ^ 4 * c ^ (-8) = c ^ (-29/8)