Как решить уравнение: (3y - 8) ^ 2 - (4y - 6) ^ 2 = 96 - (5y - 2)(5y + 2)?

Алгебра 8 класс Уравнения с квадратами решение уравнения алгебра 8 класс Квадратные уравнения методы решения уравнений алгебраические выражения Новый

Чтобы решить уравнение (3y - 8) ^ 2 - (4y - 6) ^ 2 = 96 - (5y - 2)(5y + 2), начнем с упрощения обеих сторон уравнения.

Шаг 1: Упрощение левой части уравнения.

Мы видим, что левая часть уравнения имеет форму разности квадратов: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b), где a = (3y - 8) и b = (4y - 6).

• Находим a - b: (3y - 8) - (4y - 6) = 3y - 8 - 4y + 6 = -y - 2.
• Находим a + b: (3y - 8) + (4y - 6) = 3y - 8 + 4y - 6 = 7y - 14.

Теперь можем записать левую часть как:

(3y - 8) ^ 2 - (4y - 6) ^ 2 = (-y - 2)(7y - 14).

Шаг 2: Упрощение правой части уравнения.

Правую часть уравнения можно упростить, используя формулу разности квадратов:

(5y - 2)(5y + 2) = (5y)^2 - 2^2 = 25y^2 - 4.

Теперь подставим это в правую часть уравнения:

96 - (5y - 2)(5y + 2) = 96 - (25y^2 - 4) = 96 - 25y^2 + 4 = 100 - 25y^2.

Шаг 3: Записываем уравнение после упрощений.

Теперь у нас есть:

(-y - 2)(7y - 14) = 100 - 25y^2.

Раскроем левую часть уравнения:

• -y * 7y = -7y^2,
• -y * (-14) = 14y,
• -2 * 7y = -14y,
• -2 * (-14) = 28.

Таким образом, левая часть уравнения станет:

-7y^2 + 14y - 14y + 28 = -7y^2 + 28.

Шаг 4: Записываем уравнение в стандартной форме.

Теперь у нас есть:

-7y^2 + 28 = 100 - 25y^2.

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

-7y^2 + 25y^2 + 28 - 100 = 0.

Это упрощается до:

18y^2 - 72 = 0.

Шаг 5: Упрощаем уравнение.

Разделим все элементы на 18:

y^2 - 4 = 0.

Это уравнение можно решить как разность квадратов:

(y - 2)(y + 2) = 0.

Шаг 6: Находим корни уравнения.

• y - 2 = 0 => y = 2,
• y + 2 = 0 => y = -2.

Ответ: Уравнение имеет два решения: y = 2 и y = -2.