Чтобы решить уравнения, выделяя квадрат двучлена, нам нужно привести каждое из них к форме (x - a)² = b. Давайте разберем каждое уравнение по порядку.

• Сначала перенесем 24 на правую сторону уравнения: x² - 10x = -24.
• Теперь выделим квадрат двучлена. Для этого найдем половину коэффициента при x, то есть -10/2 = -5.
• Теперь возведем это значение в квадрат: (-5)² = 25.
• Добавим и вычтем 25 в левой части уравнения: x² - 10x + 25 - 25 = -24.
• Таким образом, у нас получится: (x - 5)² - 25 = -24.
• Теперь упрощаем: (x - 5)² = 1.
• Извлекаем корень: x - 5 = ±1.
• Решения: x = 5 + 1 = 6 и x = 5 - 1 = 4.

• Переносим 40 на правую сторону: x² + 14x = -40.
• Находим половину коэффициента при x: 14/2 = 7.
• Возводим в квадрат: 7² = 49.
• Добавляем и вычитаем 49: x² + 14x + 49 - 49 = -40.
• Теперь имеем: (x + 7)² - 49 = -40.
• Упрощаем: (x + 7)² = 9.
• Извлекаем корень: x + 7 = ±3.
• Решения: x = -7 + 3 = -4 и x = -7 - 3 = -10.

• Переносим 12 на правую сторону: x² - 8x = -12.
• Находим половину коэффициента при x: -8/2 = -4.
• Возводим в квадрат: (-4)² = 16.
• Добавляем и вычитаем 16: x² - 8x + 16 - 16 = -12.
• Получаем: (x - 4)² - 16 = -12.
• Упрощаем: (x - 4)² = 4.
• Извлекаем корень: x - 4 = ±2.
• Решения: x = 4 + 2 = 6 и x = 4 - 2 = 2.

Итак, мы выделили квадрат двучлена и нашли корни для каждого уравнения:

• Первое уравнение: x = 4 и x = 6.
• Второе уравнение: x = -4 и x = -10.
• Третье уравнение: x = 2 и x = 6.