Как решить уравнение: (дробь) 2x+3/x^2-4x+4 - (дробь) x-1/x^2-2x = (дробь) 5/x?

Алгебра 8 класс Рациональные уравнения решение уравнения алгебра 8 класс дроби уравнения с дробями алгебраические выражения Новый

Чтобы решить данное уравнение, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Привести дроби к общему знаменателю.

У нас есть три дроби:

• (2x + 3) / (x^2 - 4x + 4)
• (x - 1) / (x^2 - 2x)
• (5 / x)

Сначала упростим знаменатели. Заметим, что:

• x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
• x^2 - 2x = x(x - 2)

Таким образом, общий знаменатель для первых двух дробей будет x(x - 2)^2.

Шаг 2: Умножим обе стороны уравнения на общий знаменатель.

Умножив обе стороны на x(x - 2)^2, мы избавимся от дробей:

• 2x + 3 = (x - 1) * (x - 2) + 5 * (x - 2)^2 / x

Шаг 3: Упростим уравнение.

Раскроем скобки:

• 2x + 3 = (x^2 - 3x + 2) + 5 * (x^2 - 4x + 4)

Теперь упростим правую часть:

• 5 * (x^2 - 4x + 4) = 5x^2 - 20x + 20

Теперь подставим это обратно:

• 2x + 3 = x^2 - 3x + 2 + 5x^2 - 20x + 20

Объединим все подобные члены:

• 2x + 3 = 6x^2 - 23x + 22

Шаг 4: Переносим все в одну часть уравнения.

Переносим 2x и 3 в правую часть:

• 0 = 6x^2 - 25x + 19

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение.

Теперь у нас есть квадратное уравнение 6x^2 - 25x + 19 = 0. Используем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 * 6 * 19
• D = 625 - 456 = 169

Теперь находим корни уравнения:

• x1,2 = (-b ± √D) / (2a)
• x1,2 = (25 ± √169) / (12)
• x1 = (25 + 13) / 12 = 38 / 12 = 19 / 6
• x2 = (25 - 13) / 12 = 12 / 12 = 1

Шаг 6: Проверка корней.

Проверяем, не приводит ли подстановка найденных корней к делению на ноль в исходных дробях. Для x = 1 и x = 19/6 оба значения не приводят к нулю в знаменателе, значит, оба корня допустимы.

Ответ: x = 1 и x = 19/6.