Как решить уравнение: |t^2 - 4| + |t^2 - 9| = 13?

Алгебра 8 класс Модульные уравнения решить уравнение алгебра 8 класс модульные уравнения |t^2 - 4| |t^2 - 9| уравнение с модулями Новый

Для решения уравнения |t^2 - 4| + |t^2 - 9| = 13, начнем с анализа выражений под модулем. Нам нужно определить, когда каждое из выражений внутри модулей меняет знак. Это поможет нам разбить уравнение на несколько случаев.

1. Найдем точки, в которых выражения под модулем равны нулю:

• t^2 - 4 = 0 ⇒ t^2 = 4 ⇒ t = ±2
• t^2 - 9 = 0 ⇒ t^2 = 9 ⇒ t = ±3

Таким образом, ключевые точки, которые мы получаем, это t = -3, -2, 2, 3. Теперь разделим числовую ось на интервалы, используя эти точки:

• (-∞, -3)
• [-3, -2)
• [-2, 2)
• [2, 3)
• [3, +∞)

Теперь рассмотрим каждый интервал отдельно:

1. Интервал (-∞, -3): Здесь t^2 - 4 > 0 и t^2 - 9 > 0, поэтому:
• |t^2 - 4| = t^2 - 4
• |t^2 - 9| = t^2 - 9

Подставляем в уравнение:

(t^2 - 4) + (t^2 - 9) = 13

2t^2 - 13 = 13 ⇒ 2t^2 = 26 ⇒ t^2 = 13 ⇒ t = ±√13.

Так как мы находимся в интервале (-∞, -3), принимаем только t = -√13.

2. Интервал [-3, -2): Здесь t^2 - 4 > 0 и t^2 - 9 < 0, поэтому:
• |t^2 - 4| = t^2 - 4
• |t^2 - 9| = -(t^2 - 9) = -t^2 + 9

Подставляем в уравнение:

(t^2 - 4) + (-t^2 + 9) = 13

5 = 13 (ложное равенство). Здесь решений нет.

3. Интервал [-2, 2): Здесь t^2 - 4 < 0 и t^2 - 9 < 0, поэтому:
• |t^2 - 4| = -(t^2 - 4) = -t^2 + 4
• |t^2 - 9| = -(t^2 - 9) = -t^2 + 9

Подставляем в уравнение:

(-t^2 + 4) + (-t^2 + 9) = 13

-2t^2 + 13 = 13 ⇒ -2t^2 = 0 ⇒ t^2 = 0 ⇒ t = 0.

4. Интервал [2, 3): Здесь t^2 - 4 > 0 и t^2 - 9 < 0, поэтому:
• |t^2 - 4| = t^2 - 4
• |t^2 - 9| = -(t^2 - 9) = -t^2 + 9

Подставляем в уравнение:

(t^2 - 4) + (-t^2 + 9) = 13

5 = 13 (ложное равенство). Здесь решений нет.

5. Интервал [3, +∞): Здесь t^2 - 4 > 0 и t^2 - 9 > 0, поэтому:
• |t^2 - 4| = t^2 - 4
• |t^2 - 9| = t^2 - 9

Подставляем в уравнение:

(t^2 - 4) + (t^2 - 9) = 13

2t^2 - 13 = 13 ⇒ 2t^2 = 26 ⇒ t^2 = 13 ⇒ t = √13.

Так как мы находимся в интервале [3, +∞), принимаем только t = √13.

Теперь соберем все найденные решения:

• t = -√13 (при t < -3)
• t = 0 (при -2 ≤ t < 2)
• t = √13 (при t ≥ 3)

Ответ: t = -√13, t = 0, t = √13.