Для решения уравнения |x+1|-|x-2|+|3x+6|=5 нам нужно учитывать, что модуль может принимать разные значения в зависимости от знака выражения внутри него. Поэтому начнем с определения критических точек, где выражения внутри модулей меняют знак.

Критические точки для данного уравнения:

• x + 1 = 0 --> x = -1
• x - 2 = 0 --> x = 2
• 3x + 6 = 0 --> x = -2

Таким образом, критические точки: -2, -1, 2. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько интервалов:

• (-∞, -2)
• [-2, -1)
• [-1, 2)
• [2, +∞)

Теперь решим уравнение на каждом из интервалов.

В этом интервале все выражения внутри модулей отрицательные:

• |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1
• |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2
• |3x + 6| = -(3x + 6) = -3x - 6

Подставим в уравнение:

-x - 1 - (-x + 2) - 3x - 6 = 5

Упростим:

-x - 1 + x - 2 - 3x - 6 = 5

-5x - 9 = 5

-5x = 14

x = -14/5

Проверяем, -14/5 < -2, значит это решение подходит.

В этом интервале |x + 1| и |3x + 6| положительные, а |x - 2| отрицательное:

• |x + 1| = x + 1
• |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2
• |3x + 6| = 3x + 6

Подставим в уравнение:

(x + 1) - (-x + 2) + (3x + 6) = 5

Упростим:

x + 1 + x - 2 + 3x + 6 = 5

5x + 5 = 5

5x = 0

x = 0

Проверяем, 0 не принадлежит интервалу [-2, -1), значит это решение не подходит.

В этом интервале |x + 1| положительное, |x - 2| отрицательное, а |3x + 6| положительное:

• |x + 1| = x + 1
• |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2
• |3x + 6| = 3x + 6

Подставим в уравнение:

(x + 1) - (-x + 2) + (3x + 6) = 5

Упростим:

x + 1 + x - 2 + 3x + 6 = 5

5x + 5 = 5

5x = 0

x = 0

Проверяем, 0 принадлежит интервалу [-1, 2), значит это решение подходит.

В этом интервале все модули положительные:

• |x + 1| = x + 1
• |x - 2| = x - 2
• |3x + 6| = 3x + 6

Подставим в уравнение:

(x + 1) - (x - 2) + (3x + 6) = 5

Упростим:

x + 1 - x + 2 + 3x + 6 = 5

3x + 9 = 5

3x = -4

x = -4/3

Проверяем, -4/3 не принадлежит интервалу [2, +∞), значит это решение не подходит.

Таким образом, единственное решение уравнения x = 0.