Как решить уравнение: x/(x-2) - 7/(x+2) = 8/(x^2-4)? Я уже долго пытаюсь, но не могу разобраться. Если возможно, пожалуйста, распишите решение. Заранее спасибо!

Алгебра 8 класс Рациональные уравнения решение уравнения алгебра 8 класс дробные уравнения уравнения с переменной математические задачи помощь по алгебре

Давайте решим уравнение:

x/(x-2) - 7/(x+2) = 8/(x^2-4)

Сначала заметим, что x^2 - 4 можно разложить на множители:

• x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Таким образом, правую часть уравнения можно записать как:

8/(x^2 - 4) = 8/((x - 2)(x + 2))

Теперь перепишем уравнение с учетом этого:

x/(x-2) - 7/(x+2) = 8/((x-2)(x+2))

Теперь найдем общий знаменатель для левой части уравнения. Общим знаменателем будет (x - 2)(x + 2). Перепишем левую часть с этим знаменателем:

• x/(x-2) = x(x + 2)/((x - 2)(x + 2))
• - 7/(x + 2) = -7(x - 2)/((x - 2)(x + 2))

Теперь можем записать левую часть уравнения:

(x(x + 2) - 7(x - 2))/((x - 2)(x + 2)) = 8/((x - 2)(x + 2))

Умножим обе части уравнения на ((x - 2)(x + 2)), чтобы избавиться от знаменателя:

x(x + 2) - 7(x - 2) = 8

Теперь раскроем скобки:

• x^2 + 2x - 7x + 14 = 8

Соберем все члены в одну сторону уравнения:

x^2 - 5x + 14 - 8 = 0

x^2 - 5x + 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем попробовать разложить его на множители:

• (x - 2)(x - 3) = 0

Таким образом, у нас есть два решения:

• x = 2
• x = 3

Однако, нужно проверить, что найденные значения не делают знаменатели равными нулю:

• Знаменатели: (x - 2) и (x + 2)
• При x = 2: (x - 2) = 0, что недопустимо.
• При x = 3: (x - 2) = 1 и (x + 2) = 5, что допустимо.

Таким образом, единственное допустимое решение уравнения:

x = 3

Давайте решим уравнение:

x/(x-2) - 7/(x+2) = 8/(x^2-4)

Сначала заметим, что x^2 - 4 можно разложить на множители:

x^2 - 4 = (x-2)(x+2)

Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

x/(x-2) - 7/(x+2) = 8/((x-2)(x+2))

Теперь давайте найдем общий знаменатель для всех дробей. Общий знаменатель будет (x-2)(x+2).

Умножим каждую часть уравнения на этот общий знаменатель:

1. Умножаем первую дробь:

x/(x-2) * (x-2)(x+2) = x(x+2)

2. Умножаем вторую дробь:

-7/(x+2) * (x-2)(x+2) = -7(x-2)

3. Умножаем правую часть:

8/((x-2)(x+2)) * (x-2)(x+2) = 8

Теперь у нас есть:

x(x+2) - 7(x-2) = 8

Раскроем скобки:

x^2 + 2x - 7x + 14 = 8

Упростим выражение:

x^2 - 5x + 14 = 8

Переносим 8 влево:

x^2 - 5x + 6 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac
• где a = 1, b = -5, c = 6.

Подставляем значения:

D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

Теперь находим корни:

x1 = (5 + √D) / (2 * 1) = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3

x2 = (5 - √D) / (2 * 1) = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2

Таким образом, у нас есть два корня: x1 = 3 и x2 = 2.

Однако, нужно проверить, не являются ли эти корни запрещенными значениями для исходного уравнения. Мы видим, что x = 2 приводит к делению на ноль в первой дроби. Поэтому этот корень необходимо исключить.

Оставшийся корень:

x = 3

Таким образом, решение уравнения:

x = 3