Как решить задачу, используя систему уравнений, если сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 7 см, а гипотенуза составляет 5 см? Нужно определить длины катетов.

Алгебра 8 класс Системы уравнений система уравнений задача по алгебре катеты прямоугольного треугольника решение задачи длины катетов гипотенуза сумма катетов алгебра 8 класс Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать систему уравнений. Начнем с обозначения катетов треугольника. Пусть:

• a - длина первого катета,
• b - длина второго катета.

Согласно условию задачи, у нас есть две важные информации:

1. Сумма длин катетов равна 7 см:
a + b = 7
2. Гипотенуза составляет 5 см. По теореме Пифагора мы можем записать:
a² + b² = 5²

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a + b = 7
2. a² + b² = 25

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Начнем с первого уравнения. Выразим один из катетов через другой. Например, выразим b:

b = 7 - a

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

a² + (7 - a)² = 25

Теперь раскроем скобки:

a² + (49 - 14a + a²) = 25

Соберем все подобные слагаемые:

2a² - 14a + 49 = 25

Теперь упростим уравнение:

2a² - 14a + 24 = 0

Теперь можно разделить все уравнение на 2 для упрощения:

a² - 7a + 12 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-7)² - 4112 = 49 - 48 = 1

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня. Найдем их:

a = (7 ± √D) / 2

Теперь подставим значение дискриминанта:

a = (7 ± 1) / 2

Таким образом, у нас есть два значения для a:

• a1 = (7 + 1) / 2 = 4
• a2 = (7 - 1) / 2 = 3

Теперь, зная a, мы можем найти b:

• Если a = 4, то b = 7 - 4 = 3.
• Если a = 3, то b = 7 - 3 = 4.

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см.