Какое минимальное натуральное число решает неравенство: |x−5|≤|x+2|?

Алгебра 8 класс Неравенства с модулями неравенство алгебра решение минимальное натуральное число модуль x 8 класс Новый

Чтобы решить неравенство |x−5|≤|x+2|, мы начнем с анализа абсолютных значений. Мы можем рассмотреть два случая: когда выражение внутри абсолютного значения положительно и когда отрицательно.

Сначала определим точки, в которых выражения внутри абсолютных значений равны нулю:

• x - 5 = 0 → x = 5
• x + 2 = 0 → x = -2

Эти точки делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -2)
• [-2, 5]
• (5, +∞)

Теперь рассмотрим каждый из этих интервалов по отдельности.

1. Интервал (-∞, -2):

В этом интервале x < -2, следовательно:

• |x - 5| = -(x - 5) = -x + 5
• |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2

Подставляем в неравенство:

-x + 5 ≤ -x - 2.

Упрощаем:

5 ≤ -2 (это не верно).

Таким образом, в этом интервале решений нет.

2. Интервал [-2, 5]:

В этом интервале -2 ≤ x ≤ 5, следовательно:

• |x - 5| = -(x - 5) = -x + 5
• |x + 2| = x + 2

Подставляем в неравенство:

-x + 5 ≤ x + 2.

Упрощаем:

5 - 2 ≤ x + x

3 ≤ 2x

x ≥ 3/2.

Таким образом, в этом интервале решения: 3/2 ≤ x ≤ 5.

3. Интервал (5, +∞):

В этом интервале x > 5, следовательно:

• |x - 5| = x - 5
• |x + 2| = x + 2

Подставляем в неравенство:

x - 5 ≤ x + 2.

Упрощаем:

-5 ≤ 2 (это верно).

Таким образом, в этом интервале все значения x > 5 подходят.

Теперь объединим найденные решения:

• В интервале [-2, 5] мы нашли, что x ≥ 3/2.
• В интервале (5, +∞) все значения подходят.

Таким образом, минимальное натуральное число, которое удовлетворяет неравенству, это 2, так как 3/2 - это не натуральное число.

Ответ: Минимальное натуральное число, решающее неравенство |x−5|≤|x+2|, это 2.