Для решения неравенства х(х+7) < 0, давайте следовать поэтапно:

1. Решим уравнение: Сначала найдем корни уравнения х(х+7) = 0. Это уравнение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
• Первый множитель: х = 0
• Второй множитель: х + 7 = 0, отсюда х = -7
2. Определим интервалы: Теперь у нас есть два корня: х = -7 и х = 0. Эти корни разделяют числовую ось на три интервала:
• Интервал 1: (-∞, -7)
• Интервал 2: (-7, 0)
• Интервал 3: (0, +∞)
3. Проверим знаки на каждом интервале: Мы подставим тестовые значения из каждого интервала в неравенство х(х+7) < 0.
• Для интервала (-∞, -7): возьмем, например, х = -8. Подставляем: (-8)(-8+7) = (-8)(-1) = 8 (положительное число).
• Для интервала (-7, 0): возьмем, например, х = -1. Подставляем: (-1)(-1+7) = (-1)(6) = -6 (отрицательное число).
• Для интервала (0, +∞): возьмем, например, х = 1. Подставляем: (1)(1+7) = (1)(8) = 8 (положительное число).
4. Соберем результаты: Мы видим, что:
• На интервале (-∞, -7) функция положительна.
• На интервале (-7, 0) функция отрицательна.
• На интервале (0, +∞) функция положительна.
5. Запишем ответ: Неравенство х(х+7) < 0 выполняется на интервале (-7, 0).

Таким образом, решением неравенства х(х+7) < 0 является интервал: (-7, 0).