Какое время нужно каждому экскаватору для выполнения одинакового объёма земляных работ, если два экскаватора вместе справляются с этой задачей за 3 часа 45 минут, а один из экскаваторов работает на 4 часа быстрее, чем другой?

Алгебра 8 класс Системы уравнений экскаваторы время работы земляные работы алгебра 8 класс задачи на скорость система уравнений совместная работа решение задач пропорции математические задачи Новый

Для решения этой задачи сначала переведем время, за которое два экскаватора выполняют работу, в часы. 3 часа 45 минут равняется 3,75 часа.

Обозначим время, необходимое для выполнения работы первому экскаватору, как x часов. Тогда второму экскаватору для выполнения этой же работы потребуется x - 4 часа (так как он работает на 4 часа быстрее).

Теперь можно записать уравнение, используя формулу производительности:

• Производительность первого экскаватора: 1/x (часть работы, выполненная за 1 час).
• Производительность второго экскаватора: 1/(x - 4).

Суммарная производительность двух экскаваторов вместе за 1 час будет равна:

1/x + 1/(x - 4) = 1/3,75

Теперь упростим правую часть уравнения:

1/3,75 = 1/(15/4) = 4/15

Теперь у нас есть уравнение:

1/x + 1/(x - 4) = 4/15

Умножим обе стороны уравнения на 15x(x - 4) для устранения дробей:

1. 15(x - 4) + 15x = 4x(x - 4)

Теперь раскроем скобки:

1. 15x - 60 + 15x = 4x^2 - 16x

Соберем все члены в одном уравнении:

1. 30x - 60 = 4x^2 - 16x
2. 0 = 4x^2 - 46x + 60

Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 * 4 * 60 = 2116 - 960 = 1156

Теперь найдём корни уравнения:

1. x = (46 ± √1156) / (2 * 4)

Рассчитаем √1156, что равно 34:

1. x = (46 ± 34) / 8

Теперь у нас два варианта:

1. x1 = (80) / 8 = 10
2. x2 = (12) / 8 = 1.5 (не подходит, так как один экскаватор не может работать быстрее другого на 4 часа)

Таким образом, первый экскаватор выполняет работу за 10 часов, а второй экскаватор за:

x - 4 = 10 - 4 = 6 часов.

Ответ: первому экскаватору нужно 10 часов, а второму экскаватору - 6 часов для выполнения одинакового объёма земляных работ.