Какое время потребуется двум экскаваторам, работающим одновременно, чтобы вырыть котлован, если один экскаватор вырывает его на 10 часов быстрее, чем другой, а после 10 часов работы первого экскаватора второй завершает работу за 15 часов?

Алгебра 8 класс Системы уравнений алгебра 8 класс задачи на скорость работа экскаваторов система уравнений время работы экскаваторов котлован решение задач математические задачи алгебраические уравнения работа и время Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим время, которое требуется второму экскаватору для вырытия котлована, как x часов. Тогда первый экскаватор, который работает на 10 часов быстрее, будет вырывать котлован за x - 10 часов.

Теперь мы можем определить производительность каждого экскаватора:

• Производительность первого экскаватора: 1 / (x - 10) котлованов в час.
• Производительность второго экскаватора: 1 / x котлованов в час.

Теперь, если первый экскаватор работает 10 часов, он вырывает:

10 / (x - 10) котлованов.

После этого второй экскаватор завершает работу за 15 часов. За это время он вырывает:

15 / x котлованов.

Так как вместе они должны вырыть один котлован, мы можем записать уравнение:

10 / (x - 10) + 15 / x = 1

Теперь решим это уравнение:

1. Умножим обе стороны уравнения на x(x - 10), чтобы избавиться от дробей:
10x + 15(x - 10) = x(x - 10)
2. Раскроем скобки:
10x + 15x - 150 = x^2 - 10x
3. Соберем все слагаемые в одну сторону:
x^2 - 10x - 25x + 150 = 0
4. Упростим уравнение:
x^2 - 35x + 150 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 * 1 * 150 = 1225 - 600 = 625.

Теперь находим корни уравнения:

• x1 = (35 + √625) / 2 = (35 + 25) / 2 = 30.
• x2 = (35 - √625) / 2 = (35 - 25) / 2 = 5.

Так как время не может быть отрицательным, мы выбираем x = 30. Таким образом, второй экскаватор вырывает котлован за 30 часов, а первый экскаватор за 20 часов.

Теперь найдем общее время, за которое оба экскаватора вырывают котлован:

1 / (x - 10) + 1 / x = 1/T, где T - искомое время.

Подставляем значения:

1 / 20 + 1 / 30 = 1/T

Находим общий знаменатель и решаем уравнение:

• 1/T = (3 + 2) / 60 = 5 / 60 = 1 / 12.

Таким образом, T = 12 часов.

Ответ: Два экскаватора, работающие одновременно, вырвут котлован за 12 часов.