Какое время потребуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения одного и того же объема земляных работ, если два экскаватора, работая одновременно, выполнят этот объем работ за 3 часа 45 минут, а один экскаватор может выполнить его на 4 часа быстрее, чем другой?

Алгебра 8 класс Системы уравнений экскаватор земляные работы время выполнения алгебра 8 класс задача на скорость система уравнений работа экскаваторов математическая задача Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Сначала переведем время, за которое два экскаватора выполняют работу, в часы. 3 часа 45 минут равняется:

• 3 часа + 45 минут = 3 + 0.75 = 3.75 часа.

Теперь обозначим время, которое требуется первому экскаватору для выполнения работы, как x часов. Тогда время, необходимое второму экскаватору, будет x + 4 часа, так как он работает на 4 часа дольше.

Когда два экскаватора работают вместе, их производительность складывается. Мы можем выразить производительность каждого экскаватора следующим образом:

• Производительность первого экскаватора: 1/x (объем работы за 1 час).
• Производительность второго экскаватора: 1/(x + 4).

Сложим их производительности, чтобы получить общую производительность при совместной работе:

• 1/x + 1/(x + 4) = 1/3.75.

Теперь преобразуем уравнение:

• 1/x + 1/(x + 4) = 1/(15/4) = 4/15.

Теперь умножим обе стороны уравнения на 15x(x + 4), чтобы избавиться от дробей:

• 15(x + 4) + 15x = 4x(x + 4).

Раскроем скобки:

• 15x + 60 + 15x = 4x^2 + 16x.

Соберем все члены в одном уравнении:

• 30x + 60 = 4x^2 + 16x.
• 0 = 4x^2 - 14x - 60.

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 4 * (-60) = 196 + 960 = 1156.

Теперь найдем корни уравнения:

• x = (14 ± √1156) / (2 * 4).
• √1156 = 34, поэтому:
• x = (14 ± 34) / 8.

Теперь найдем два возможных значения для x:

• x1 = (14 + 34) / 8 = 48 / 8 = 6.
• x2 = (14 - 34) / 8 = -20 / 8 = -2.5 (это значение не подходит, так как время не может быть отрицательным).

Таким образом, время, необходимое первому экскаватору, составляет 6 часов. А время, необходимое второму экскаватору, будет:

• x + 4 = 6 + 4 = 10 часов.

Ответ: Первому экскаватору потребуется 6 часов, а второму - 10 часов для выполнения одного и того же объема земляных работ.