Какова длина сторон прямоугольника, если его периметр составляет 28 см, и при увеличении двух противоположных сторон на 6 см и уменьшении двух других на 2 см площадь увеличивается на 24 см²? Решите задачу с использованием линейного уравнения.

Алгебра 8 класс Системы линейных уравнений алгебра 8 класс задача на периметр прямоугольник линейное уравнение площадь фигуры увеличение и уменьшение сторон решение задачи математическая задача Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим длину и ширину прямоугольника как a и b соответственно.

Сначала запишем уравнение для периметра прямоугольника:

• Периметр P прямоугольника рассчитывается по формуле: P = 2(a + b).
• В нашем случае периметр равен 28 см, следовательно: 2(a + b) = 28.
• Разделим обе стороны уравнения на 2: a + b = 14.

Теперь у нас есть первое уравнение:

1) a + b = 14

Теперь рассмотрим вторую часть задачи, которая касается изменения площадей:

• Площадь прямоугольника S рассчитывается по формуле: S = a * b.
• После изменения сторон, две противоположные стороны увеличиваются на 6 см, а другие уменьшаются на 2 см. Таким образом, новые размеры будут:
• Новая длина: a + 6
• Новая ширина: b - 2
• Новая площадь будет равна: S' = (a + 6)(b - 2).
• По условию задачи, площадь увеличивается на 24 см², следовательно: S' = S + 24.

Подставим значения:

• (a + 6)(b - 2) = ab + 24

Теперь раскроем скобки:

• ab - 2a + 6b - 12 = ab + 24.

Упростим уравнение, вычтя ab из обеих сторон:

• -2a + 6b - 12 = 24.

Теперь добавим 12 к обеим сторонам:

• -2a + 6b = 36.

Разделим всё на -2, чтобы упростить уравнение:

• a - 3b = -18.

Теперь у нас есть второе уравнение:

2) a - 3b = -18

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a + b = 14
2. a - 3b = -18

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим a:

• a = 14 - b.

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

• (14 - b) - 3b = -18.

Упростим уравнение:

• 14 - 4b = -18.

Теперь перенесем 14 на правую сторону:

• -4b = -18 - 14
• -4b = -32

Разделим обе стороны на -4:

• b = 8.

Теперь подставим значение b обратно в первое уравнение, чтобы найти a:

• a + 8 = 14
• a = 14 - 8
• a = 6.

Таким образом, длина сторон прямоугольника составляет:

a = 6 см (длина) и b = 8 см (ширина).