Каковы длины катетов прямоугольного треугольника, если их сумма равна 23 см, а гипотенуза равна 17 см?

Алгебра 8 класс Прямоугольные треугольники длины катетов прямоугольный треугольник сумма катетов гипотенуза задача по алгебре 8 класс решение задачи геометрия алгебраические уравнения Новый

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, когда известны их сумма и длина гипотенузы, мы можем использовать систему уравнений.

Обозначим длины катетов как a и b. У нас есть следующие данные:

• Сумма катетов: a + b = 23 см
• Гипотенуза: по теореме Пифагора a² + b² = c², где c - гипотенуза. В нашем случае c = 17 см, значит, a² + b² = 17² = 289.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + b = 23
2. a² + b² = 289

Сначала выразим b через a из первого уравнения:

b = 23 - a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a² + (23 - a)² = 289

Раскроем скобки:

a² + (23² - 2 * 23 * a + a²) = 289

a² + 529 - 46a + a² = 289

Соберем все подобные члены:

2a² - 46a + 529 - 289 = 0

2a² - 46a + 240 = 0

Теперь упростим уравнение, разделив все его коэффициенты на 2:

a² - 23a + 120 = 0

Теперь найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-23)² - 4 * 1 * 120 = 529 - 480 = 49

Так как дискриминант положительный, у нас два решения:

a = (23 ± √49) / 2 = (23 ± 7) / 2

Теперь найдем два значения:

• a1 = (23 + 7) / 2 = 30 / 2 = 15
• a2 = (23 - 7) / 2 = 16 / 2 = 8

Теперь, подставив a1 и a2, найдем соответствующие значения b:

• Если a = 15, то b = 23 - 15 = 8.
• Если a = 8, то b = 23 - 8 = 15.

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны 15 см и 8 см.