Каковы два натуральных числа, если их сумма составляет 50, а произведение на 11 меньше разности их квадратов?

Алгебра 8 класс Системы уравнений алгебра 8 класс натуральные числа сумма произведение разность квадратов задачи на алгебру Новый

Давайте обозначим два натуральных числа как x и y. Согласно условию задачи, у нас есть две основные информации:

• Сумма чисел: x + y = 50
• Произведение на 11 меньше разности квадратов: xy = (x^2 - y^2) - 11

Начнем с первого уравнения. Из него мы можем выразить одно число через другое. Например, выразим y через x:

y = 50 - x

Теперь подставим это выражение во второе уравнение. Мы знаем, что разность квадратов можно разложить на множители:

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

Так как мы знаем, что x + y = 50, то:

x^2 - y^2 = (x - y) * 50

Теперь подставим y = 50 - x в уравнение:

xy = (x - (50 - x)) * 50 - 11

Упростим это выражение:

xy = (x - 50 + x) * 50 - 11

xy = (2x - 50) * 50 - 11

Теперь подставим xy, используя y = 50 - x:

x(50 - x) = (2x - 50) * 50 - 11

Раскроем скобки и упростим уравнение:

50x - x^2 = 100x - 2500 - 11

Соберем все элементы в одну сторону:

-x^2 + 50x - 100x + 2500 + 11 = 0

-x^2 - 50x + 2511 = 0

Умножим на -1, чтобы упростить уравнение:

x^2 + 50x - 2511 = 0

Теперь воспользуемся дискриминантом для решения квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac

D = 50^2 - 4 * 1 * (-2511)

D = 2500 + 10044 = 12544

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-50 ± √12544) / 2

Вычислим √12544, это равно 112:

x = (-50 ± 112) / 2

Теперь найдем два значения для x:

1. x1 = (62) / 2 = 31
2. x2 = (-162) / 2, что не является натуральным числом

Таким образом, x = 31. Теперь найдем y:

y = 50 - x = 50 - 31 = 19

Итак, два натуральных числа, которые удовлетворяют условиям задачи, это:

31 и 19