Каковы первоначальные размеры прямоугольника, если его длина в 2 раза больше ширины, а при увеличении каждой стороны на 1 см площадь увеличивается на 19 см²?

Алгебра 8 класс Системы уравнений алгебра 8 класс размеры прямоугольника длина и ширина площадь прямоугольника увеличение площади задачи по алгебре математические задачи решение уравнений Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим ширину прямоугольника как w, тогда длина будет 2w, так как длина в 2 раза больше ширины.

Теперь найдем первоначальную площадь прямоугольника:

• Площадь = длина × ширина = 2w × w = 2w².

Теперь, если мы увеличим каждую сторону на 1 см, новые размеры будут:

• Новая ширина = w + 1,
• Новая длина = 2w + 1.

Теперь найдем новую площадь:

• Новая площадь = (2w + 1) × (w + 1).

Теперь раскроем скобки в новом выражении:

• Новая площадь = 2w × w + 2w × 1 + 1 × w + 1 × 1 = 2w² + 2w + w + 1 = 2w² + 3w + 1.

По условию задачи, площадь увеличивается на 19 см². Это значит, что разница между новой и первоначальной площадью равна 19 см²:

• (2w² + 3w + 1) - 2w² = 19.

Упростим это уравнение:

• 3w + 1 = 19.

Теперь решим это уравнение для w:

1. 3w = 19 - 1
2. 3w = 18
3. w = 18 / 3
4. w = 6.

Теперь, зная ширину, можем найти длину:

• Длина = 2w = 2 × 6 = 12.

Таким образом, первоначальные размеры прямоугольника:

• Ширина = 6 см,
• Длина = 12 см.