Каковы размеры сторон прямоугольника, если его периметр равен 54 см, а площадь составляет 126 см²?

Алгебра 8 класс Системы уравнений размеры сторон прямоугольника периметр 54 см площадь 126 см² алгебра 8 класс задачи по алгебре решение задач прямоугольник геометрические задачи Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Итак, у нас есть прямоугольник, для которого известны периметр и площадь:

• Периметр (P) = 54 см
• Площадь (S) = 126 см²

Обозначим длину прямоугольника как "a", а ширину как "b". Теперь запишем формулы для периметра и площади:

1. Формула для периметра:

P = 2(a + b)

2. Формула для площади:

S = a * b

Теперь подставим известные значения в эти формулы.

Из формулы периметра:

2(a + b) = 54

Разделим обе стороны на 2:

a + b = 27

Из формулы площади:

a * b = 126

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• Уравнение 1: a + b = 27
• Уравнение 2: a * b = 126

Теперь выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим b:

b = 27 - a

Теперь подставим это значение b во второе уравнение:

a * (27 - a) = 126

Раскроем скобки:

27a - a² = 126

Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

a² - 27a + 126 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

D = b² - 4ac

D = (-27)² - 4 * 1 * 126

D = 729 - 504 = 225

Теперь найдем корни уравнения:

a = (27 ± √D) / 2

a = (27 ± √225) / 2

a = (27 ± 15) / 2

Теперь вычислим два возможных значения для a:

• Первый корень: a = (27 + 15) / 2 = 21 / 2 = 10.5
• Второй корень: a = (27 - 15) / 2 = 12 / 2 = 6

Теперь подставим найденные значения a обратно в уравнение для b:

• Если a = 10.5, то b = 27 - 10.5 = 16.5
• Если a = 6, то b = 27 - 6 = 21

Таким образом, у нас есть два возможных набора размеров сторон прямоугольника:

• Длина = 10.5 см, Ширина = 16.5 см
• Длина = 6 см, Ширина = 21 см

Оба варианта удовлетворяют условиям задачи. Поэтому размеры сторон прямоугольника могут быть 10.5 см и 16.5 см, или 6 см и 21 см.