Давайте обозначим длины сторон прямоугольника как a и b. Сначала запишем информацию, которую мы имеем:

• Сумма площадей квадратов на каждой стороне равна 130 см². Это можно записать как: a² + b² = 130.
• Периметр прямоугольника равен 22 см. Периметр P прямоугольника можно выразить через стороны a и b, как: P = 2(a + b). Таким образом, у нас есть уравнение: 2(a + b) = 22, что можно упростить до: a + b = 11.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a² + b² = 130
2. a + b = 11

Теперь мы можем выразить одну переменную через другую. Из второго уравнения выразим b:

b = 11 - a.

Теперь подставим это выражение для b в первое уравнение:

a² + (11 - a)² = 130.

Раскроем скобки во втором слагаемом:

(11 - a)² = 121 - 22a + a².

Теперь подставим это в первое уравнение:

a² + 121 - 22a + a² = 130.

Соберем подобные слагаемые:

2a² - 22a + 121 = 130.

Теперь вычтем 130 из обеих сторон:

2a² - 22a - 9 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить. Упростим его, разделив все коэффициенты на 2:

a² - 11a - 4.5 = 0.

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

a = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.

Здесь a = 1, b = -11 и c = -4.5. Подставим значения:

D = (-11)² - 4 * 1 * (-4.5) = 121 + 18 = 139.

Теперь можем найти корни:

a = (11 ± √139) / 2.

Теперь подставим значение D:

√139 примерно равно 11.79. Тогда:

a1 = (11 + 11.79) / 2 ≈ 11.39 / 2 ≈ 5.695.

a2 = (11 - 11.79) / 2 ≈ -0.395 (это значение не имеет физического смысла, так как длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь найдем b:

b = 11 - a1 ≈ 11 - 5.695 ≈ 5.305.

Таким образом, длины сторон прямоугольника составляют примерно:

a ≈ 5.7 см и b ≈ 5.3 см.