Давайте обозначим количество правильных ответов ученика как x, количество неправильных ответов как y, а количество вопросов, на которые он не ответил, как z.

Мы знаем, что всего было 25 вопросов, поэтому можно записать первое уравнение:

• x + y + z = 25

Также у нас есть информация о набранных очках. Ученик за каждый правильный ответ получает 7 очков, а за каждый неправильный ответ теряет 10 очков. Таким образом, общее количество очков можно выразить следующим образом:

• 7x - 10y = 42

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) x + y + z = 25
• 2) 7x - 10y = 42

Из первого уравнения мы можем выразить z:

• z = 25 - x - y

Теперь давайте решим второе уравнение относительно y:

• Перепишем уравнение: 7x - 10y = 42
• Выразим y: 10y = 7x - 42
• y = (7x - 42) / 10

Теперь подставим это значение y в первое уравнение:

• x + (7x - 42) / 10 + z = 25

Теперь умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от дробей:

• 10x + (7x - 42) + 10z = 250

Теперь упрощаем:

• 17x + 10z - 42 = 250
• 17x + 10z = 292
• 10z = 292 - 17x
• z = (292 - 17x) / 10

Теперь у нас есть выражение для z и y. Поскольку z и y должны быть неотрицательными, это накладывает ограничения на x.

Теперь попробуем подставить различные целые значения для x, чтобы найти подходящие y и z:

1. x = 6
• y = (7*6 - 42) / 10 = 0 (не подходит, так как y должен быть больше 0)
2. x = 7
• y = (7*7 - 42) / 10 = 1
• z = 25 - 7 - 1 = 17
3. x = 8
• y = (7*8 - 42) / 10 = 2
• z = 25 - 8 - 2 = 15
4. x = 9
• y = (7*9 - 42) / 10 = 3
• z = 25 - 9 - 3 = 13
5. x = 10
• y = (7*10 - 42) / 10 = 4
• z = 25 - 10 - 4 = 11
6. x = 11
• y = (7*11 - 42) / 10 = 5
• z = 25 - 11 - 5 = 9
7. x = 12
• y = (7*12 - 42) / 10 = 6
• z = 25 - 12 - 6 = 7
8. x = 13
• y = (7*13 - 42) / 10 = 7
• z = 25 - 13 - 7 = 5
9. x = 14
• y = (7*14 - 42) / 10 = 8
• z = 25 - 14 - 8 = 3
10. x = 15
• y = (7*15 - 42) / 10 = 9
• z = 25 - 15 - 9 = 1
11. x = 16
• y = (7*16 - 42) / 10 = 10 (не подходит, так как y превышает количество вопросов)

Таким образом, мы видим, что возможные значения x (количество правильных ответов) могут быть от 7 до 15. Поскольку в условии задачи сказано, что ученик хотя бы один раз ошибся, то y должно быть больше 0.

Таким образом, возможные значения для количества правильных ответов ученика: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Наиболее подходящее значение, учитывая условия задачи, это x = 7.

Итак, ученик дал 7 правильных ответов.