Не выполняя построений, как можно найти координаты точек пересечения окружности x²+y²=17 и прямой x+y=3?

Алгебра 8 класс Системы уравнений координаты точек пересечения окружность x²+y²=17 прямая x+y=3 алгебра 8 класс решение уравнений геометрия система уравнений Новый

Чтобы найти координаты точек пересечения окружности и прямой, нам нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения прямой. Давайте разберем шаги решения.

1. Запишем уравнения:
   • Уравнение окружности: x² + y² = 17
   • Уравнение прямой: x + y = 3
2. Выразим одну переменную через другую:

   Из уравнения прямой x + y = 3 можно выразить y:

   y = 3 - x

3. Подставим выражение для y в уравнение окружности:

   Теперь подставим y = 3 - x в уравнение окружности:

   x² + (3 - x)² = 17

4. Раскроем скобки и упростим уравнение:

   Раскроем скобки:

   x² + (3 - x)(3 - x) = x² + (9 - 6x + x²) = 2x² - 6x + 9

   Теперь у нас есть:

   2x² - 6x + 9 = 17

   Упростим это уравнение:

   2x² - 6x + 9 - 17 = 0

   2x² - 6x - 8 = 0

5. Решим квадратное уравнение:

   Чтобы решить уравнение 2x² - 6x - 8 = 0, можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

   Здесь a = 2, b = -6, c = -8.

   Сначала найдем дискриминант:

   D = (-6)² - 4 * 2 * (-8) = 36 + 64 = 100

   Теперь подставим значения в формулу:

   x = (6 ± √100) / 4 = (6 ± 10) / 4

   Это дает два значения:

   • x₁ = (6 + 10) / 4 = 16 / 4 = 4
   • x₂ = (6 - 10) / 4 = -4 / 4 = -1
6. Найдем соответствующие значения y:

   Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение прямой y = 3 - x:

   • Для x₁ = 4: y₁ = 3 - 4 = -1
   • Для x₂ = -1: y₂ = 3 - (-1) = 4
7. Запишем координаты точек пересечения:

   Таким образом, точки пересечения окружности и прямой:

   • (4, -1)
   • (-1, 4)

В итоге, мы нашли, что окружность x² + y² = 17 и прямая x + y = 3 пересекаются в точках (4, -1) и (-1, 4).