Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Назовем:

• x - количество часов, за которые вторая бригада может отремонтировать всю дорогу самостоятельно.
• Тогда первая бригада может отремонтировать дорогу за x + 9 часов, так как ей нужно на 9 часов больше.

Теперь определим, какую часть дороги ремонтирует каждая бригада за 1 час:

• Первая бригада за 1 час ремонтирует 1/(x + 9) части дороги.
• Вторая бригада за 1 час ремонтирует 1/x части дороги.

Сначала первая бригада работала 9 часов самостоятельно:

• За это время она отремонтировала 9/(x + 9) части дороги.

Затем обе бригады работали вместе 6 часов:

• Совместно за 1 час они ремонтируют 1/(x + 9) + 1/x части дороги.
• За 6 часов они отремонтировали 6 * (1/(x + 9) + 1/x) части дороги.

По условию задачи, после всего этого была отремонтирована половина дороги, то есть:

9/(x + 9) + 6 * (1/(x + 9) + 1/x) = 1/2

Теперь решим это уравнение:

1. Приведем все к общему знаменателю:
• 9/x + 9 + 6 * (x + x + 9)/(x(x + 9)) = 1/2
2. Упростим выражение:
• 9/x + 9 + 6 * (2x + 9)/(x(x + 9)) = 1/2
3. Переносим все в одну сторону:
• (9(x) + 6(2x + 9))/(x(x + 9)) = 1/2
4. Решаем полученное уравнение:
• 18x + 54 = x(x + 9)/2
• 36x + 108 = x^2 + 9x
• x^2 - 27x - 108 = 0
5. Решаем квадратное уравнение:
• Находим дискриминант: D = 27^2 + 4 * 108 = 729 + 432 = 1161
• x_1 = (27 + √1161)/2 ≈ 30
• x_2 = (27 - √1161)/2 (этот корень отрицательный, не подходит)

Таким образом, вторая бригада может отремонтировать дорогу за 30 часов, а первая бригада за 30 + 9 = 39 часов.