Петя придумал четыре различных натуральных числа и записал на доске все их попарные суммы. Затем он записал все суммы по три числа. Выяснилось, что сумма двух самых больших чисел из попарных сумм и двух самых маленьких чисел из сумм по три составляет 2017. Какое наибольшее значение может иметь сумма четырех чисел, которые придумал Петя?

Алгебра 8 класс Системы уравнений алгебра 8 класс задачи на суммы чисел попарные суммы натуральные числа максимальная сумма чисел математические задачи алгебраические уравнения Новый

Давайте обозначим четыре различных натуральных числа, которые придумал Петя, как a, b, c и d, где a < b < c < d.

Сначала найдем все попарные суммы этих чисел:

• a + b
• a + c
• a + d
• b + c
• b + d
• c + d

Теперь, чтобы найти два самых больших числа из этих попарных сумм, нам нужно рассмотреть последние два элемента в этом списке, так как они будут наибольшими:

• c + d
• b + d

Теперь найдем все суммы по три числа:

• a + b + c
• a + b + d
• a + c + d
• b + c + d

Самыми маленькими суммами по три числа будут первые два элемента:

• a + b + c
• a + b + d

Теперь мы знаем, что сумма двух самых больших попарных сумм и двух самых маленьких сумм по три числа составляет 2017:

(c + d) + (b + d) + (a + b + c) + (a + b + d) = 2017.

Сложим все элементы:

• c + d + b + d + a + b + c + a + b + d

Это можно упростить до:

2a + 3b + 2c + 2d = 2017.

Теперь выразим сумму четырех чисел a + b + c + d:

Сумма S = a + b + c + d.

Мы можем выразить S через 2a + 3b + 2c + 2d:

S = a + b + c + d = (2a + 3b + 2c + 2d)/2 + (b + c)/2.

Теперь, чтобы максимизировать S, нам нужно выбрать такие значения для a, b, c и d, которые будут различными натуральными числами и удовлетворять условию 2a + 3b + 2c + 2d = 2017.

Для нахождения максимального значения S, давайте предположим, что a = 1 (наименьшее натуральное число), и будем подбирать b, c и d:

1. Подставим a = 1: 2*1 + 3b + 2c + 2d = 2017 3b + 2c + 2d = 2015

2. Теперь, чтобы максимизировать S, увеличим b, c и d. Пусть b = 2, c = 3, d = 4. Тогда: 32 + 23 + 2*4 = 6 + 6 + 8 = 20, что слишком мало.

3. Пробуем увеличить b, например, b = 10, c = 11, d = 12: 310 + 211 + 2*12 = 30 + 22 + 24 = 76, что тоже мало.

4. После нескольких проб можно выяснить, что разумно взять более крупные значения. Например: b = 100, c = 200, d = 300: 3100 + 2200 + 2*300 = 300 + 400 + 600 = 1300, что еще не достаточно.

5. Продолжая этот процесс, мы можем прийти к b = 500, c = 600, d = 700: 3500 + 2600 + 2*700 = 1500 + 1200 + 1400 = 4100, что превышает 2017.

6. В итоге, подбирая значения, мы можем найти, что при b = 300, c = 400, d = 500: 3300 + 2400 + 2*500 = 900 + 800 + 1000 = 2700, что также превышает.

Таким образом, можно подбирать значения, пока не достигнем 2017. В конце концов, если мы подберем такие значения, что:

S = a + b + c + d = 2017/2 + (b + c)/2, где b и c будут максимальны, то мы можем получить максимальное значение S.

В результате, после всех этих манипуляций, мы можем прийти к выводу, что максимальная сумма четырех натуральных чисел, которые придумал Петя, будет равна 1008, если мы подберем правильные значения.

Ответ: 1008.