Помогите пожалуйста! Как можно доказать неравенство (а+b)*(1/a+1/b)≥4, если a>0 и b>0? Нужно срочно.

Алгебра 8 класс Неравенства алгебра неравенство доказательство A B положительные числа математический анализ методы доказательства школьная математика Новый

Давайте разберем, как можно доказать неравенство (a + b) * (1/a + 1/b) ≥ 4 при условии, что a > 0 и b > 0. Мы будем использовать свойства алгебры и неравенства.

1. Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

• (a + b) * (1/a + 1/b) = (a + b) * (b/a + 1) = (a + b) * (1 + a/b)
• Теперь мы можем записать это как: (a + b) * (1/a + 1/b) = (a + b) * (b + a) / (ab) = (a^2 + ab + b^2) / ab.

2. Мы можем упростить выражение:

• (a + b) * (1/a + 1/b) = (a^2 + b^2 + 2ab) / ab = (a^2 + b^2) / ab + 2.

3. Теперь нам нужно доказать, что (a^2 + b^2) / ab + 2 ≥ 4.

4. Упростим это неравенство:

• (a^2 + b^2) / ab + 2 ≥ 4
  => (a^2 + b^2) / ab ≥ 2

5. Перепишем это неравенство в другом виде:

• a^2 + b^2 ≥ 2ab.

6. Это неравенство является следствием неравенства Коши-Шварца или неравенства AM-GM (арифметического и геометрического среднего), которое гласит, что для любых положительных a и b:

• (a + b)/2 ≥ √(ab)
  => a + b ≥ 2√(ab).

7. Возведем обе стороны в квадрат:

• (a + b)^2 ≥ 4ab
  => a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab.
• Таким образом, мы имеем: a^2 + b^2 ≥ 2ab.

8. Мы доказали, что (a + b) * (1/a + 1/b) ≥ 4 для всех положительных a и b.

Таким образом, неравенство (a + b) * (1/a + 1/b) ≥ 4 верно для всех a > 0 и b > 0. Надеюсь, это объяснение было полезным!