Помогите пожалуйста! Как упростить два выражения: √(8 + 2√7) и √(15 + 6√6)?

Алгебра 8 класс Упрощение иррациональных выражений упрощение выражений алгебра 8 класс корень из суммы корень из выражения примеры упрощения √(8 + 2√7) √(15 + 6√6) Новый

Давайте упростим оба выражения по очереди. Начнем с первого выражения: √(8 + 2√7).

Шаг 1: Определим, можно ли выразить подкоренное выражение в виде квадрата суммы.

Мы ищем такие числа a и b, чтобы:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

В нашем случае:

• a² + b² = 8,
• 2ab = 2√7.

Шаг 2: Найдем ab.

Из второго уравнения 2ab = 2√7, следовательно, ab = √7.

Шаг 3: Найдем a и b.

Теперь нам нужно решить систему уравнений:

• a² + b² = 8,
• ab = √7.

Обозначим a и b как x и y. Тогда:

• x + y = s (сумма),
• xy = p (произведение).

Из второго уравнения мы знаем, что p = √7. Теперь воспользуемся формулой для суммы квадратов:

x² + y² = (x + y)² - 2xy = s² - 2p.

Подставляем наши значения:

s² - 2√7 = 8.

Решаем это уравнение для s:

s² = 8 + 2√7.

Теперь мы можем предположить, что a и b равны 2 и √7. Проверим:

(2 + √7)² = 4 + 4√7 + 7 = 11 + 4√7,

что не совпадает с 8 + 2√7. Значит, мы ошиблись. Попробуем взять a = 2 и b = 1.

(2 + 1)² = 4 + 4 + 1 = 9, что тоже не подходит.

Пробуем a = √7 и b = 1:

(√7 + 1)² = 7 + 2√7 + 1 = 8 + 2√7.

Теперь мы нашли, что √(8 + 2√7) = √(√7 + 1)² = √7 + 1.

Теперь перейдем ко второму выражению: √(15 + 6√6).

Шаг 1: Определим, можно ли выразить подкоренное выражение в виде квадрата суммы.

Ищем такие a и b, чтобы:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

В нашем случае:

• a² + b² = 15,
• 2ab = 6√6.

Шаг 2: Найдем ab.

Из второго уравнения 2ab = 6√6, следовательно, ab = 3√6.

Шаг 3: Найдем a и b.

Теперь решаем систему уравнений:

• a² + b² = 15,
• ab = 3√6.

Воспользуемся аналогичным методом, как и в первом случае:

Обозначим a и b как x и y. Тогда:

• x + y = s,
• xy = p.

Из второго уравнения p = 3√6. Подставляем в формулу для суммы квадратов:

s² - 2p = 15.

s² - 2(3√6) = 15.

s² = 15 + 6√6.

Теперь можем попробовать a = 3 и b = √6:

(3 + √6)² = 9 + 6 + 6√6 = 15 + 6√6.

Мы нашли, что √(15 + 6√6) = √(3 + √6)² = 3 + √6.

Ответ:

• √(8 + 2√7) = 1 + √7,
• √(15 + 6√6) = 3 + √6.