Давайте разберем каждое задание по очереди.

Область определения функции – это множество всех значений переменной, при которых функция имеет смысл.

1. а) y = √(2x - x^2)
   • Чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 2x - x^2 ≥ 0.
   • Перепишем неравенство: -x^2 + 2x ≥ 0.
   • Выразим его в виде: x(2 - x) ≥ 0.
   • Решим это неравенство. Находим корни: x = 0 и x = 2.
   • Построим числовую прямую и определим знаки на интервалах: (-∞, 0), (0, 2) и (2, +∞).
   • Функция неотрицательна на интервале [0, 2].
2. б) y = 9/(x + 5)^3
   • Здесь функция определена при условии, что знаменатель не равен нулю: (x + 5) ≠ 0.
   • Следовательно, x ≠ -5.
   • Область определения: D = R \ { -5 }, то есть все действительные числа, кроме -5.

Функция: y = ((x + 1)^(4/3)) + 1.

Чтобы найти область определения, нужно определить, при каких значениях x функция имеет смысл.

• Корень четной степени (4/3) определен для всех x, поэтому область определения: D = R.

Теперь найдем область значений:

• При x = -1, y = 1.
• При x > -1, y будет расти, так как (x + 1)^(4/3) всегда неотрицательно.
• Таким образом, область значений: [1, +∞).

График функции можно построить с помощью графического редактора, но, к сожалению, я не могу его нарисовать.

Функция: y = ⁴√(x - 3).

Чтобы найти обратную функцию, выразим x через y:

• Сначала возведем обе стороны в четвертую степень: y^4 = x - 3.
• Теперь выразим x: x = y^4 + 3.

Таким образом, обратная функция: x = ⁴√(y - 3).

Область определения обратной функции: y ≥ 3 (так как x должен быть неотрицательным).

Область значений: x ≥ 0.

1. а) √(5 - 4x) = 3,2
   • Возводим обе стороны в квадрат: 5 - 4x = 10,24.
   • Решаем: -4x = 10,24 - 5; -4x = 5,24; x = -5,24/4; x = -1,31.
2. б) √(4x^2 - 3x - 1) = x + 1
   • Возводим обе стороны в квадрат: 4x^2 - 3x - 1 = (x + 1)^2.
   • Раскрываем скобки: 4x^2 - 3x - 1 = x^2 + 2x + 1.
   • Переносим все в одну сторону: 4x^2 - 3x - 1 - x^2 - 2x - 1 = 0.
   • Упрощаем: 3x^2 - 5x - 2 = 0.
   • Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = (-5)^2 - 4*3*(-2) = 25 + 24 = 49.
   • Находим корни: x = (5 ± √49) / 6 = (5 ± 7) / 6.
   • Корни: x1 = 2, x2 = -1/3.

Неравенство: √(2x - x^2 + 1) ≥ 2x - 3.

Сначала определим область определения: 2x - x^2 + 1 ≥ 0.

• Решим неравенство: -x^2 + 2x + 1 ≥ 0.
• Найдем корни: x = 1 и x = -1.
• Решим неравенство: (x - 1)(x + 1) ≤ 0.
• Находим, что x ∈ [-1, 1].

Теперь решим неравенство √(2x - x^2 + 1) ≥ 2x - 3, подставляя значения из области определения.

Подробное решение требует проверки значений в пределах [-1, 1].

Таким образом, мы разобрали все задания. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!