Для решения неравенства х(х+10)(х-3)≤0 с помощью метода интервалов, следуем следующим шагам:

Сначала решим уравнение х(х+10)(х-3) = 0. Корни этого уравнения — это значения, при которых произведение равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

• х = 0
• х + 10 = 0 → х = -10
• х - 3 = 0 → х = 3

Таким образом, корни уравнения: х = -10, х = 0, х = 3.

Теперь мы можем разбить числовую ось на интервалы, используя найденные корни:

• (-∞, -10)
• (-10, 0)
• (0, 3)
• (3, +∞)

Для каждого интервала выберем тестовую точку и подставим её в неравенство х(х+10)(х-3) для определения знака выражения:

• Для интервала (-∞, -10): возьмем тестовую точку х = -11.
• Для интервала (-10, 0): возьмем тестовую точку х = -5.
• Для интервала (0, 3): возьмем тестовую точку х = 1.
• Для интервала (3, +∞): возьмем тестовую точку х = 4.

Теперь подставим тестовые точки в неравенство и определим знаки:

• х = -11: (-11)(-11+10)(-11-3) = (-11)(-1)(-14) = -154 (знак положительный)
• х = -5: (-5)(-5+10)(-5-3) = (-5)(5)(-8) = 200 (знак отрицательный)
• х = 1: (1)(1+10)(1-3) = (1)(11)(-2) = -22 (знак отрицательный)
• х = 4: (4)(4+10)(4-3) = (4)(14)(1) = 56 (знак положительный)

Теперь мы можем составить таблицу знаков:

• (-∞, -10): знак положительный
• (-10, 0): знак отрицательный
• (0, 3): знак отрицательный
• (3, +∞): знак положительный

Неравенство х(х+10)(х-3)≤0 выполняется в интервалах, где знак отрицательный или равен нулю. Это происходит в следующих интервалах:

• [-10, 0]
• [0, 3]

Таким образом, решение неравенства х(х+10)(х-3)≤0:

х ∈ [-10, 3]