Помогите решить следующие неравенства:

1. a) X^2 - 49 > 0
2. б) x^2 + 6X < 0
3. в) 2X^2 - x - 6 ≤ 0
4. Г) X^2 - 6x + 9 ≤ 0
5. д) x^2/5 + 2x/3 ≥ 8/15

Срочно помогите, пожалуйста!

Алгебра 8 класс Неравенства второй степени неравенства алгебра 8 класс решение неравенств Квадратные неравенства математические задачи Новый

Давайте поочередно решим каждое из предложенных неравенств.

a) X^2 - 49 > 0

Это неравенство можно переписать как:

(X - 7)(X + 7) > 0

Теперь определим нули функции:

• X - 7 = 0 → X = 7
• X + 7 = 0 → X = -7

Теперь мы имеем два критических значения: -7 и 7. Мы можем разбить числовую ось на три интервала:

• (-∞, -7)
• (-7, 7)
• (7, +∞)

Теперь проверим знак произведения (X - 7)(X + 7) на каждом из интервалов:

• Для интервала (-∞, -7) возьмем, например, X = -8: (-8 - 7)(-8 + 7) = (-)(-) = + (положительно)
• Для интервала (-7, 7) возьмем, например, X = 0: (0 - 7)(0 + 7) = (-)(+) = - (отрицательно)
• Для интервала (7, +∞) возьмем, например, X = 8: (8 - 7)(8 + 7) = (+)(+) = + (положительно)

Таким образом, неравенство X^2 - 49 > 0 выполняется для интервалов:

X ∈ (-∞, -7) ∪ (7, +∞)

б) x^2 + 6X < 0

Это неравенство можно записать как:

X(X + 6) < 0

Нули функции:

• X = 0
• X + 6 = 0 → X = -6

Критические точки: -6 и 0. Разобьем числовую ось на три интервала:

• (-∞, -6)
• (-6, 0)
• (0, +∞)

Проверим знак:

• Для (-∞, -6) возьмем X = -7: (-)(-) = +
• Для (-6, 0) возьмем X = -1: (-)(+) = -
• Для (0, +∞) возьмем X = 1: (+)(+) = +

Таким образом, неравенство x^2 + 6X < 0 выполняется на интервале:

X ∈ (-6, 0)

в) 2X^2 - x - 6 ≤ 0

Сначала найдем корни уравнения 2X^2 - x - 6 = 0 с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-6) = 1 + 48 = 49

Корни:

X1 = (1 + √49) / (2 * 2) = 4/4 = 1

X2 = (1 - √49) / (2 * 2) = -6/4 = -3/2

Теперь у нас есть корни -3/2 и 1. Разделим числовую ось:

• (-∞, -3/2)
• (-3/2, 1)
• (1, +∞)

Проверим знак:

• Для (-∞, -3/2) возьмем X = -2: +
• Для (-3/2, 1) возьмем X = 0: -
• Для (1, +∞) возьмем X = 2: +

Неравенство 2X^2 - x - 6 ≤ 0 выполняется в интервале:

X ∈ [-3/2, 1]

Г) X^2 - 6x + 9 ≤ 0

Это можно переписать как:

(X - 3)^2 ≤ 0

Квадрат любого числа не может быть отрицательным, он равен нулю только в одной точке:

X = 3

Таким образом, неравенство выполняется только в точке:

X = 3

д) x^2/5 + 2x/3 ≥ 8/15

Умножим обе стороны на 15, чтобы избавиться от дробей:

3x^2 + 10x - 8 ≥ 0

Теперь найдем корни уравнения 3x^2 + 10x - 8 = 0 с помощью дискриминанта:

D = 10^2 - 4 * 3 * (-8) = 100 + 96 = 196

Корни:

X1 = (10 + √196) / (2 * 3) = 8/3

X2 = (10 - √196) / (2 * 3) = -1/3

Теперь у нас есть корни -1/3 и 8/3. Разделим числовую ось:

• (-∞, -1/3)
• (-1/3, 8/3)
• (8/3, +∞)

Проверим знак:

• Для (-∞, -1/3) возьмем X = -1: +
• Для (-1/3, 8/3) возьмем X = 0: -
• Для (8/3, +∞) возьмем X = 3: +

Неравенство 3x^2 + 10x - 8 ≥ 0 выполняется на интервалах:

X ∈ (-∞, -1/3] ∪ [8/3, +∞)

Итак, мы разобрали все неравенства. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!