Чтобы решить неравенство (x+2)^2 < 13 - (x-3)^2, давайте сначала упростим его.

1. Раскроем скобки с обеих сторон неравенства:

• (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
• (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9

Теперь подставим эти выражения в неравенство:

x^2 + 4x + 4 < 13 - (x^2 - 6x + 9)

2. Упростим правую часть неравенства:

13 - (x^2 - 6x + 9) = 13 - x^2 + 6x - 9 = -x^2 + 6x + 4

Теперь у нас есть:

x^2 + 4x + 4 < -x^2 + 6x + 4

3. Переносим все члены в одну сторону неравенства:

x^2 + 4x + 4 + x^2 - 6x - 4 < 0

Это упрощается до:

2x^2 - 2x < 0

4. Вынесем общий множитель:

2x(x - 1) < 0

5. Теперь нужно определить, когда произведение 2x(x - 1) меньше нуля. Это происходит, когда один из множителей положителен, а другой отрицателен.

6. Найдем нули функции:

• 2x = 0 => x = 0
• x - 1 = 0 => x = 1

7. Теперь определим промежутки, где 2x(x - 1) < 0. Мы имеем три промежутка:

• x < 0
• 0 < x < 1
• x > 1

8. Проверим знаки в каждом промежутке:

• Для x < 0 (например, x = -1): 2(-1)(-1 - 1) = 2(-1)(-2) = 4 > 0
• Для 0 < x < 1 (например, x = 0.5): 2(0.5)(0.5 - 1) = 2(0.5)(-0.5) = -0.5 < 0
• Для x > 1 (например, x = 2): 2(2)(2 - 1) = 2(2)(1) = 4 > 0

9. Таким образом, неравенство 2x(x - 1) < 0 выполняется на промежутке:

0 < x < 1

Ответ: x принадлежит интервалу (0, 1).