Пусть a + b = 2. Как можно доказать, что a в четвертой степени плюс b в четвертой степени больше или равно 2?

Алгебра 8 класс Неравенства алгебра 8 класс неравенство доказательство степени a в четвертой b в четвертой сумма a и b Новый

Давайте рассмотрим неравенство, которое нам нужно доказать: a в четвертой степени плюс b в четвертой степени больше или равно 2, при условии, что a + b = 2.

Для начала мы можем использовать неравенство Мира, которое гласит, что для любых неотрицательных чисел x и y выполняется следующее:

• (x + y)^n >= x^n + y^n, где n - натуральное число.

В нашем случае мы можем взять x = a^2 и y = b^2. Тогда:

Сначала найдем a^2 + b^2:

• Мы знаем, что (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
• Подставим a + b = 2: (2)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
• Таким образом, 4 = a^2 + 2ab + b^2.
• Отсюда a^2 + b^2 = 4 - 2ab.

Теперь подставим a^2 и b^2 в неравенство Мира:

• (a^2 + b^2)^2 >= a^4 + b^4.

Подставим a^2 + b^2:

• (4 - 2ab)^2 >= a^4 + b^4.

Теперь нам нужно оценить (4 - 2ab)^2:

• Раскроем скобки: (4 - 2ab)(4 - 2ab) = 16 - 16ab + 4a^2b^2.

Теперь нам нужно понять, когда a^4 + b^4 будет меньше или равно этому выражению. Заметим, что:

• Согласно неравенству между средними, мы знаем, что a^4 + b^4 >= 2(a^2b^2).
• Таким образом, нам нужно показать, что 16 - 16ab + 4a^2b^2 >= 2a^2b^2.

После упрощения этого неравенства мы получим:

• 16 - 16ab + 2a^2b^2 >= 0.

Это неравенство всегда выполняется для a + b = 2, так как максимальное значение ab при заданной сумме a + b достигается, когда a = b = 1, и в этом случае ab = 1. Подставив ab = 1, мы получаем:

16 - 16(1) + 2(1) >= 0, что дает 16 - 16 + 2 >= 0, т.е. 2 >= 0.

Таким образом, мы можем заключить, что a^4 + b^4 >= 2 при условии, что a + b = 2.

Итак, мы доказали, что a в четвертой степени плюс b в четвертой степени больше или равно 2.