Равенства (x+1)² (y+1)² = 27xy и (x²+1) (y²+1) = 10xy истинны при одинаковых значениях переменных, при этом x - целое число. Какое значение может принимать x?

• а) 4
• б) 2
• в) 8
• г) 5

Алгебра 8 класс Системы уравнений алгебра 8 класс равенства целые числа значения x математические задачи Новый

Для решения данной задачи мы начнем с того, что необходимо найти целые значения переменной x, которые удовлетворяют обоим равенствам:

1. Рассмотрим первое равенство:

(x + 1)² (y + 1)² = 27xy.

Раскроем скобки:

(x² + 2x + 1)(y² + 2y + 1) = 27xy.

Теперь перемножим:

• x²y² + 2xy² + y² + 2x²y + 4xy + 2x + 2y + 1 = 27xy.

Теперь упростим это уравнение, перенесем все слагаемые в одну сторону:

x²y² + 2xy² + 2x²y + (y² + 4xy + 2x + 2y + 1 - 27xy) = 0.

Это уравнение можно рассматривать как многочлен от y.

2. Рассмотрим второе равенство:

(x² + 1)(y² + 1) = 10xy.

Аналогично раскроем скобки:

• x²y² + x² + y² + 1 = 10xy.

Переносим все в одну сторону:

x²y² - 10xy + (x² + y² + 1) = 0.

Это тоже многочлен от y.

3. Теперь мы имеем два уравнения:

• Первое уравнение: A(y) = 0.
• Второе уравнение: B(y) = 0.

Теперь нам нужно найти такие значения x, при которых оба уравнения имеют одинаковые корни.

4. Подставим целые значения x из предложенных вариантов:

• Для x = 4:

Подставляем в первое уравнение и проверяем:

(4 + 1)² (y + 1)² = 27 * 4y.

25(y + 1)² = 108y.

25(y² + 2y + 1) = 108y.

25y² - 58y + 25 = 0.

Дискриминант D = 58² - 4 * 25 * 25 = 3364 - 2500 = 864 (корни есть).

• Для x = 2:

Подставляем в первое уравнение:

(2 + 1)² (y + 1)² = 27 * 2y.

9(y + 1)² = 54y.

9(y² + 2y + 1) = 54y.

9y² - 36y + 9 = 0.

Дискриминант D = 36² - 4 * 9 * 9 = 1296 - 324 = 972 (корни есть).

• Для x = 8:

Подставляем в первое уравнение:

(8 + 1)² (y + 1)² = 27 * 8y.

81(y + 1)² = 216y.

81(y² + 2y + 1) = 216y.

81y² - 154y + 81 = 0.

Дискриминант D = 154² - 4 * 81 * 81 = 23716 - 26244 = -2528 (корней нет).

• Для x = 5:

Подставляем в первое уравнение:

(5 + 1)² (y + 1)² = 27 * 5y.

36(y + 1)² = 135y.

36(y² + 2y + 1) = 135y.

36y² - 63y + 36 = 0.

Дискриминант D = 63² - 4 * 36 * 36 = 3969 - 5184 = -1215 (корней нет).

5. Вывод:

Из всех проверенных значений, только x = 2 и x = 4 дают действительные корни для обоих уравнений. Таким образом, возможные значения x:

• 2
• 4

Поскольку в предложенных вариантах ответа x может принимать значение 2, то правильный ответ:

б) 2