Решите неравенство: (5x-1)² - (x-6)(x+8) > 85

Алгебра 8 класс Неравенства алгебра 8 класс неравенство решение неравенства квадратное неравенство математические задачи Новый

Для решения неравенства (5x-1)² - (x-6)(x+8) > 85, давайте сначала упростим его. Мы начнем с раскрытия скобок и приведения всех членов неравенства к одной стороне.

1. Раскроем скобки:
   • (5x - 1)² = 25x² - 10x + 1
   • (x - 6)(x + 8) = x² + 8x - 6x - 48 = x² + 2x - 48
2. Подставим полученные выражения в неравенство:
   • 25x² - 10x + 1 - (x² + 2x - 48) > 85
3. Упростим выражение:
   • 25x² - 10x + 1 - x² - 2x + 48 > 85
   • 24x² - 12x + 49 > 85
4. Переносим 85 в левую часть:
   • 24x² - 12x + 49 - 85 > 0
   • 24x² - 12x - 36 > 0
5. Упростим неравенство:
   • 24x² - 12x - 36 = 12(2x² - x - 3)
   • 2x² - x - 3 > 0

Теперь мы должны решить неравенство 2x² - x - 3 > 0. Для этого найдем корни квадратного уравнения 2x² - x - 3 = 0, используя дискриминант.

1. Находим дискриминант:
   • D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25
2. Находим корни:
   • x1 = ( -b + sqrt(D) ) / (2a) = (1 + 5) / 4 = 6 / 4 = 1.5
   • x2 = ( -b - sqrt(D) ) / (2a) = (1 - 5) / 4 = -4 / 4 = -1

Теперь у нас есть корни x1 = 1.5 и x2 = -1. Мы можем использовать эти корни для анализа знака выражения 2x² - x - 3.

Рассмотрим промежутки:

• (-∞; -1)
• (-1; 1.5)
• (1.5; +∞)

Теперь проверим знак на каждом из интервалов:

1. Для x < -1 (например, x = -2):
   • 2(-2)² - (-2) - 3 = 8 + 2 - 3 = 7 > 0
2. Для -1 < x < 1.5 (например, x = 0):
   • 2(0)² - (0) - 3 = -3 < 0
3. Для x > 1.5 (например, x = 2):
   • 2(2)² - (2) - 3 = 8 - 2 - 3 = 3 > 0

Таким образом, 2x² - x - 3 > 0 на интервалах:

• x < -1
• x > 1.5

Теперь запишем окончательный ответ:

Решение неравенства (5x-1)² - (x-6)(x+8) > 85:

x < -1 или x > 1.5.