Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Обозначим количество талонов:
   • Пусть у нас есть x талонов номиналом 15 рублей.
   • И y талонов номиналом 20 рублей.
2. Составим уравнение для общей суммы денег:
   • Общая сумма денег в талонах: 15x + 20y рублей.
3. Условия задачи:
   • Талоны по 20 рублей были в количестве больше, чем талоны по 15 рублей: y > x.
4. Рассмотрим первую часть расходов:
   • Спортсмен потратил пятую часть всех денег, отдав 2 талона за билет в кино. Это значит, что 2 талона составляют 1/5 от всей суммы.
   • Стоимость двух талонов: 15a + 20b, где a и b — количество талонов по 15 и 20 рублей соответственно, использованных для оплаты.
   • Таким образом, 15a + 20b = (15x + 20y) / 5.
5. Рассмотрим вторую часть расходов:
   • После покупки билета осталось 4/5 от суммы. Половину этой суммы он потратил на ужин, оплатив его тремя талонами.
   • Стоимость трех талонов: 15c + 20d, где c и d — количество талонов по 15 и 20 рублей соответственно, использованных для оплаты.
   • Таким образом, 15c + 20d = (4/5) * (15x + 20y) / 2.
6. Решим систему уравнений:
   • 15a + 20b = (15x + 20y) / 5
   • 15c + 20d = (4/5) * (15x + 20y) / 2
   • Также учитываем, что y > x.
7. Подбор значений:
   • Пробуем различные значения для x и y, чтобы они соответствовали условиям задачи.
   • Например, если x = 3 и y = 4, то общее количество талонов: 3 + 4 = 7.

Таким образом, исходя из условий задачи и подбора, можно предположить, что у спортсмена изначально было 7 талонов.