СРОЧНО

Как можно доказать неравенство a² + b² + c² ≥ 2(a + b + c) - 3?

Даю 30 балов.

Алгебра 8 класс Неравенства доказательство неравенства алгебра 8 класс неравенства в алгебре математические доказательства неравенство a² + b² + c² решение неравенств свойства неравенств Новый

Чтобы доказать неравенство a² + b² + c² ≥ 2(a + b + c) - 3, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Сначала перенесем все члены на одну сторону неравенства:

a² + b² + c² - 2(a + b + c) + 3 ≥ 0.

Теперь упростим левую часть. Раскроем скобки:

a² + b² + c² - 2a - 2b - 2c + 3.

Теперь сгруппируем члены:

(a² - 2a) + (b² - 2b) + (c² - 2c) + 3 ≥ 0.

Далее, для каждого из квадратных выражений (a² - 2a), (b² - 2b), (c² - 2c) мы можем использовать метод выделения полного квадрата:

a² - 2a = (a - 1)² - 1,

b² - 2b = (b - 1)² - 1,

c² - 2c = (c - 1)² - 1.

Теперь подставим эти выражения обратно в неравенство:

((a - 1)² - 1) + ((b - 1)² - 1) + ((c - 1)² - 1) + 3 ≥ 0.

Упростим это выражение:

(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² ≥ 0.

Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то:

(a - 1)² ≥ 0,

(b - 1)² ≥ 0,

(c - 1)² ≥ 0.

Сумма неотрицательных чисел также неотрицательна:

(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² ≥ 0.

Таким образом, мы доказали, что a² + b² + c² ≥ 2(a + b + c) - 3 для любых действительных a, b и c.