В прямоугольном треугольнике один катет длиннее другого на 4 см, а гипотенуза равна корню из 58. Как можно найти длину большего катета?

Алгебра 8 класс Прямоугольные треугольники прямоугольный треугольник катеты гипотенуза длина катета алгебра 8 класс задача на треугольники Пифагор решение задачи Новый

Для решения задачи начнем с обозначения катетов прямоугольного треугольника. Пусть:

• a - длина меньшего катета;
• b - длина большего катета.

Согласно условию задачи, один катет длиннее другого на 4 см. Это можно записать следующим образом:

b = a + 4

Также нам известно, что гипотенуза c равна корню из 58:

c = √58

В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора, которая гласит:

a² + b² = c²

Теперь подставим выражение для b в уравнение Пифагора:

a² + (a + 4)² = (√58)²

Теперь упростим уравнение:

1. Сначала вычислим квадрат гипотенузы:

(√58)² = 58

2. Теперь раскроем скобки:

(a + 4)² = a² + 8a + 16

3. Теперь подставим это в уравнение:

a² + a² + 8a + 16 = 58

4. Сложим подобные члены:

2a² + 8a + 16 = 58

5. Теперь перенесем 58 в левую часть уравнения:

2a² + 8a + 16 - 58 = 0

6. Упростим уравнение:

2a² + 8a - 42 = 0

7. Теперь разделим все члены на 2 для упрощения:

a² + 4a - 21 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100;
• Теперь найдем корни уравнения:

a = (-b ± √D) / (2a) = (-4 ± √100) / 2 = (-4 ± 10) / 2.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для a:

• a₁ = (6) / 2 = 3;
• a₂ = (-14) / 2 = -7 (отрицательное значение не подходит, так как длина катета не может быть отрицательной).

Теперь, зная a = 3, найдем b:

b = a + 4 = 3 + 4 = 7

Таким образом, длина большего катета равна 7 см.