Задача 1: Как можно доказать, что если в двузначном числе 10а+б переставить цифры местами и вычесть полученное число из первоначального, то разность окажется кратной 9?

Задача 2: Какова итоговая сумма ряда 1+1/2+1/4+1/8+....+1/1024?

Задача 3: Как можно определить, сколько билетов на поезд было куплено, если туристы приобрели 100 билетов на общую сумму 3400000 рублей, а стоимость билетов составляла 30000 и 40000 рублей за штуку?

Задача 4: Какую скорость должен развивать велосипедист, чтобы приехать вовремя, если при скорости 10 км/ч он опоздает на 1 час, а при 15 км/ч приедет на час раньше?

Алгебра 8 класс Системы уравнений и неравенств алгебра 8 класс задачи по алгебре доказательства в алгебре Сумма ряда билеты на поезд скорость велосипедиста математические задачи кратность 9 задачи на логику алгебраические уравнения Новый

Задача 1: Доказательство, что разность между двузначным числом и числом, полученным при перестановке его цифр, кратна 9.

Рассмотрим двузначное число, которое можно представить в виде 10а + б, где а - десятки, а б - единицы.

Если мы переставим цифры местами, то получим число 10б + а.

Теперь вычтем полученное число из первоначального:

(10а + б) - (10б + а) = 10а + б - 10б - а = 9а - 9б = 9(a - b).

Как видно, разность равна 9(a - b), а значит, она кратна 9, так как 9 является множителем. Таким образом, мы доказали, что разность двух чисел, полученных из перестановки цифр, всегда будет кратна 9.

Задача 2: Итоговая сумма ряда 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/1024.

Этот ряд является геометрической прогрессией, где первый член a = 1, а знаменатель прогрессии q = 1/2.

Количество членов в ряду можно определить по последнему члену: 1/1024 = 1/(2^10), значит, последний член соответствует 10-му члену прогрессии.

Количество членов n = 10.

Сумма S_n геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q), где n - количество членов.

Подставим наши значения:

S_10 = 1 * (1 - (1/2)^10) / (1 - 1/2) = (1 - 1/1024) / (1/2) = (1023/1024) * 2 = 1023/512.

Таким образом, итоговая сумма ряда равна 1023/512.

Задача 3: Определение количества купленных билетов.

Обозначим количество билетов по 30000 рублей как x, а количество билетов по 40000 рублей как y.

У нас есть две системы уравнений:

• x + y = 100 (всего 100 билетов)
• 30000x + 40000y = 3400000 (общая стоимость билетов)

Решим первую систему уравнений. Из первого уравнения выразим y:

y = 100 - x.

Подставим это значение во второе уравнение:

30000x + 40000(100 - x) = 3400000.

Раскроем скобки:

30000x + 4000000 - 40000x = 3400000.

Соберем все x в одном уравнении:

-10000x + 4000000 = 3400000.

Переносим 4000000 в правую сторону:

-10000x = 3400000 - 4000000.

-10000x = -600000.

Делим обе стороны на -10000:

x = 60.

Теперь подставим x в первое уравнение, чтобы найти y:

y = 100 - 60 = 40.

Таким образом, туристы купили 60 билетов по 30000 рублей и 40 билетов по 40000 рублей.

Задача 4: Определение скорости велосипедиста.

Обозначим расстояние, которое должен проехать велосипедист, как D.

При скорости 10 км/ч он опоздает на 1 час:

Время в пути при скорости 10 км/ч: T_1 = D / 10.

При скорости 15 км/ч он приедет на 1 час раньше:

Время в пути при скорости 15 км/ч: T_2 = D / 15.

Согласно условию, T_1 = T_2 + 2 (поскольку он опоздает на 1 час и приедет на 1 час раньше, разница составляет 2 часа).

Подставим значения:

D / 10 = D / 15 + 2.

Умножим всё на 30, чтобы избавиться от дробей:

3D = 2D + 60.

Переносим 2D в левую часть:

D = 60.

Теперь, чтобы найти скорость, которая позволит ему приехать вовремя, используем формулу скорости:

Скорость = Расстояние / Время.

Время, которое он должен потратить, чтобы приехать вовремя, будет равно:

T = D / 10 + 1 = 60 / 10 + 1 = 6 часов.

Теперь находим скорость:

Скорость = 60 / 6 = 10 км/ч.

Таким образом, велосипедист должен развивать скорость 12 км/ч, чтобы приехать вовремя.