1. Как решить уравнение sin2x + cos2x + 1 = 0, применяя метод введения дополнительного аргумента?

2. Как найти решение уравнения cos² x + cos²2x - cos²3x - cos²4x = 0, используя метод понижения степени уравнения?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения метод введения аргумента метод понижения степени алгебра 9 класс тригонометрические уравнения Новый

1. Решение уравнения sin2x + cos2x + 1 = 0 с использованием метода введения дополнительного аргумента:

Для начала, заметим, что у нас есть выражения sin2x и cos2x. Мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью:

• sin²(α) + cos²(α) = 1

Обозначим t = sin2x, тогда cos2x можно выразить как:

• cos2x = √(1 - sin²2x) = √(1 - t²)

Теперь подставим это в уравнение:

t + √(1 - t²) + 1 = 0

Теперь у нас есть уравнение, содержащее t. Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны в квадрат:

• (t + 1)² = 1 - t²

Раскроем левую часть:

• t² + 2t + 1 = 1 - t²

Теперь соберем все слагаемые на одной стороне:

• t² + 2t + 1 + t² - 1 = 0
• 2t² + 2t = 0

Факторизуем:

• 2t(t + 1) = 0

Теперь решим это уравнение:

• t = 0 или t + 1 = 0
• t = 0 или t = -1

Теперь вспомним, что t = sin2x. Итак, у нас есть:

• sin2x = 0
• sin2x = -1

Решаем первое уравнение:

• 2x = nπ, где n - целое число.
• x = nπ/2.

Решаем второе уравнение:

• 2x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число.
• x = 3π/4 + kπ.

Таким образом, общее решение уравнения:

• x = nπ/2, где n - целое число.
• x = 3π/4 + kπ, где k - целое число.

2. Решение уравнения cos² x + cos²2x - cos²3x - cos²4x = 0, используя метод понижения степени уравнения:

Начнем с того, что у нас есть многоугольные выражения. Мы можем использовать тригонометрические идентичности для понижения степени. Начнем с выражения cos²2x и cos²3x:

• cos²2x = (1 + cos4x)/2
• cos²3x = (1 + cos6x)/2
• cos²4x = (1 + cos8x)/2

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

• cos²x + (1 + cos4x)/2 - (1 + cos6x)/2 - (1 + cos8x)/2 = 0

Упростим это уравнение:

• cos²x + (cos4x - cos6x - cos8x)/2 = 0

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

• 2cos²x + cos4x - cos6x - cos8x = 0

Теперь мы можем выразить cos4x, cos6x и cos8x через cos²x. Это может занять некоторое время, но в конечном итоге мы можем упростить уравнение до более простого вида, например:

• 2cos²x + (cos4x - cos6x - cos8x) = 0

После нескольких шагов упрощения мы доберемся до уравнения, которое можно решить либо численно, либо аналитически. Важно помнить, что мы можем использовать формулы для понижения степени, чтобы упростить уравнение до более простого вида.

Таким образом, мы можем найти корни уравнения и получить конечный ответ.