Как можно решить уравнение: cos2x + 5cosx + 4=0?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения cos2x 5cosx 4=0 алгебра 9 класс тригонометрические уравнения методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение cos2x + 5cosx + 4 = 0, сначала воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

cos2x = 2cos^2x - 1.

Теперь подставим это выражение в уравнение:

2cos^2x - 1 + 5cosx + 4 = 0.

Упростим уравнение:

• 2cos^2x + 5cosx + 3 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cosx. Обозначим y = cosx, тогда уравнение принимает вид:

2y^2 + 5y + 3 = 0.

Теперь решим его с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * 3.
• D = 25 - 24 = 1.

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

y1,2 = (-b ± √D) / (2a).

• y1 = (-5 + √1) / (2 * 2) = (-5 + 1) / 4 = -4 / 4 = -1.
• y2 = (-5 - √1) / (2 * 2) = (-5 - 1) / 4 = -6 / 4 = -3/2.

Теперь у нас есть два значения для y:

• y1 = -1,
• y2 = -3/2.

Теперь нужно найти значения cosx. Рассмотрим каждое из них:

1. Для y1 = -1:

• cosx = -1.
• Это значение достигается при x = π + 2kπ, где k – любое целое число.

2. Для y2 = -3/2:

• cosx = -3/2.
• Это значение недопустимо, так как косинус не может принимать значения вне диапазона [-1, 1].

Таким образом, единственным решением уравнения cos2x + 5cosx + 4 = 0 является:

x = π + 2kπ, где k – любое целое число.