Как можно решить уравнение (sinx - cosx)^2 - 1 = sin2x?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические уравнения (sinx - cosx)^2 sin2x методы решения уравнений Новый

Давайте разберем уравнение (sinx - cosx)^2 - 1 = sin2x шаг за шагом.

Шаг 1: Упростим левую часть уравнения.

Начнем с того, что у нас есть (sinx - cosx)^2 - 1. Мы можем воспользоваться известной формулой разности квадратов:

• a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).

В нашем случае a = (sinx - cosx) и b = 1. Таким образом, мы можем переписать уравнение:

(sinx - cosx - 1)(sinx - cosx + 1) = sin2x.

Шаг 2: Используем формулу для sin2x.

Известно, что sin2x = 2sinxcosx. Подставим это в уравнение:

(sinx - cosx - 1)(sinx - cosx + 1) = 2sinxcosx.

Шаг 3: Рассмотрим два случая.

Теперь мы можем рассмотреть два случая, которые возникают из произведения:

1. sinx - cosx - 1 = 0
2. sinx - cosx + 1 = 0

Случай 1: sinx - cosx - 1 = 0.

Решим это уравнение:

sinx - cosx = 1.

Мы можем выразить sinx через cosx:

sinx = cosx + 1.

Так как sinx и cosx не могут одновременно превышать 1, это уравнение не имеет решений.

Случай 2: sinx - cosx + 1 = 0.

Решим это уравнение:

sinx - cosx = -1.

Таким образом, sinx = cosx - 1.

Теперь можем выразить sinx и cosx через одну функцию. Используем соотношение sin^2x + cos^2x = 1:

(cosx - 1)^2 + cos^2x = 1.

Раскроем скобки:

cos^2x - 2cosx + 1 + cos^2x = 1.

Соберем подобные члены:

2cos^2x - 2cosx + 1 - 1 = 0.

Получаем:

2cos^2x - 2cosx = 0.

Вынесем 2cosx за скобки:

2cosx(cosx - 1) = 0.

Шаг 4: Найдем корни уравнения.

Теперь у нас есть два множителя:

1. 2cosx = 0, что дает cosx = 0.
2. cosx - 1 = 0, что дает cosx = 1.

Шаг 5: Найдем значения x.

Решим оба уравнения:

• cosx = 0: x = π/2 + kπ, где k - целое число.
• cosx = 1: x = 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения (sinx - cosx)^2 - 1 = sin2x.