Как найти решение уравнения: cos2x + 5sinx - 4 = 0?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения cos2x 5sinx алгебра 9 класс тригонометрические уравнения методы решения уравнений математические задачи алгебраические уравнения

Чтобы решить уравнение cos2x + 5sinx - 4 = 0, начнем с преобразования выражения cos2x. Мы знаем, что cos2x можно выразить через sinx:

• cos2x = 1 - 2sin²x (по формуле косинуса двойного угла)

Подставим это в уравнение:

1 - 2sin²x + 5sinx - 4 = 0

Теперь упростим уравнение:

• 1 - 4 = -3, тогда получаем:
• -2sin²x + 5sinx - 3 = 0

Умножим всё уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

2sin²x - 5sinx + 3 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно sinx. Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:

ax² + bx + c = 0, где a = 2, b = -5, c = 3.

Находим дискриминант (D):

D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1.

Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня. Находим их по формуле:

• sinx₁ = ( -b + √D ) / (2a) = (5 + 1) / 4 = 6 / 4 = 1.5 (не подходит, так как sinx не может быть больше 1)
• sinx₂ = ( -b - √D ) / (2a) = (5 - 1) / 4 = 4 / 4 = 1.

Теперь проверим корни:

• sinx = 1. Это значение соответствует углу x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, решение уравнения cos2x + 5sinx - 4 = 0:

x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

Для решения уравнения cos2x + 5sinx - 4 = 0 мы будем использовать некоторые тригонометрические преобразования. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Используем формулу для cos2x: Мы знаем, что cos2x = 1 - 2sin^2x или cos2x = 2cos^2x - 1. В нашем случае удобнее использовать первую формулу.
2. Подставляем в уравнение: Заменим cos2x в исходном уравнении:
• 1 - 2sin^2x + 5sinx - 4 = 0
3. Упрощаем уравнение: Переносим все члены в одну сторону:
• -2sin^2x + 5sinx + (1 - 4) = 0
• -2sin^2x + 5sinx - 3 = 0
4. Умножаем на -1: Чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов, умножим все уравнение на -1:
• 2sin^2x - 5sinx + 3 = 0
5. Решаем квадратное уравнение: Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -5, c = 3.
• D = (-5)^2 - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1.
6. Находим корни: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
• sinx1 = (5 + sqrt(D)) / (2 * 2) = (5 + 1) / 4 = 6 / 4 = 1.5 (не подходит, так как sinx не может быть больше 1).
• sinx2 = (5 - sqrt(D)) / (2 * 2) = (5 - 1) / 4 = 4 / 4 = 1.
• sinx3 = (5 - sqrt(D)) / (2 * 2) = (5 - 1) / 4 = 4 / 4 = 1.
7. Находим значения x: У нас есть только один подходящий корень sinx = 1. Теперь найдем соответствующее значение x:
• sinx = 1 => x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения cos2x + 5sinx - 4 = 0 имеет вид:

x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z.