Докажите, что произведение (1+tga)(1+tab) равно 2, если сумма углов a и b равна π/4.

Алгебра 9 класс Тригонометрические функции и их свойства алгебра 9 класс произведение углов сумма углов tga tab доказательство Тригонометрия углы A и B π/4 математические доказательства Новый

Для доказательства равенства произведения (1 + tga)(1 + tab) = 2 при условии, что сумма углов a и b равна π/4, давайте начнем с анализа тригонометрических функций.

Согласно условию, мы имеем:

a + b = π/4

Из этого условия можем выразить тангенсы углов a и b:

tg(a + b) = tg(π/4)

Зная, что tg(π/4) = 1, применим формулу для тангенса суммы:

tg(a + b) = (tga + tgb) / (1 - tga * tgb)

Подставим в эту формулу:

1 = (tga + tgb) / (1 - tga * tgb)

Теперь умножим обе стороны на (1 - tga * tgb):

1. 1 - tga * tgb = tga + tgb

Преобразуем это уравнение:

1. 1 = tga + tgb + tga * tgb

Теперь вернемся к нашему произведению:

(1 + tga)(1 + tgb) = 1 + tga + tgb + tga * tgb

Подставим выражение для tga + tgb + tga * tgb из предыдущего уравнения:

1. (1 + tga)(1 + tgb) = 1 + 1 = 2

Таким образом, мы доказали, что:

(1 + tga)(1 + tgb) = 2

Это завершает доказательство. Мы использовали свойства тангенса и формулы для суммы углов, чтобы прийти к нужному результату.