Как можно упростить выражение: (1 + tg²α)*sin²α?

Алгебра 9 класс Тригонометрические функции и их свойства Упрощение выражения алгебра 9 класс тригонометрические функции синус и тангенс математические выражения Новый

Чтобы упростить выражение (1 + tg²α)*sin²α, давайте вспомним некоторые тригонометрические соотношения.

Первое, что нужно знать, это определение тангенса:

• tgα = sinα/cosα

Следовательно, tg²α = (sinα/cosα)² = sin²α/cos²α.

Теперь подставим tg²α в исходное выражение:

(1 + tg²α)*sin²α = (1 + sin²α/cos²α)*sin²α.

Теперь упростим скобки:

1 можно выразить как cos²α/cos²α, чтобы привести к общему знаменателю:

(1 + sin²α/cos²α) = (cos²α/cos²α + sin²α/cos²α) = (cos²α + sin²α)/cos²α.

По известному тригонометрическому тождеству, cos²α + sin²α = 1. Таким образом, мы можем заменить числитель:

(cos²α + sin²α)/cos²α = 1/cos²α.

Теперь подставим это обратно в выражение:

(1/cos²α) * sin²α = sin²α/cos²α.

И, наконец, мы можем выразить это как:

sin²α/cos²α = tg²α.

Таким образом, упрощенное выражение будет:

tg²α