Докажите, что выражение x^2 - 8x + 18 всегда остается положительным для любого значения x.

Алгебра 9 класс Квадратные функции и их свойства алгебра 9 класс доказательство неравенства положительное выражение x^2 - 8x + 18 свойства квадратных функций Новый

Чтобы доказать, что выражение x^2 - 8x + 18 всегда остается положительным для любого значения x, мы можем воспользоваться методом анализа квадратичной функции.

1. Начнем с того, что данное выражение является квадратичной функцией вида ax^2 + bx + c, где:

• a = 1 (коэффициент при x^2),
• b = -8 (коэффициент при x),
• c = 18 (свободный член).

2. Поскольку a = 1 положительно, это означает, что парабола, соответствующая данной функции, открыта вверх.

3. Теперь найдем дискриминант D данной функции, чтобы определить, есть ли у нее корни:

• D = b^2 - 4ac

Подставим значения:

• D = (-8)^2 - 4 * 1 * 18
• D = 64 - 72
• D = -8

4. Поскольку дискриминант D отрицательный (D < 0), это означает, что у данной квадратичной функции нет действительных корней. Таким образом, парабола не пересекает ось x.

5. Поскольку парабола открыта вверх и не пересекает ось x, это означает, что значение функции x^2 - 8x + 18 всегда положительно для любого значения x.

6. Чтобы подтвердить это, мы можем также найти вершину параболы, которая находится по координатам:

• x_0 = -b / (2a) = 8 / 2 = 4

7. Подставим x = 4 в исходное выражение, чтобы найти значение функции в вершине:

• f(4) = 4^2 - 8 * 4 + 18
• f(4) = 16 - 32 + 18
• f(4) = 2

Таким образом, значение функции в вершине положительно, и, так как функция не имеет корней и открыта вверх, мы можем заключить, что выражение x^2 - 8x + 18 всегда остается положительным для любого значения x.