Докажите следующие тождества:

1. sin^2a - cos^2a + 1 = 2 sin^2a
2. (sin a + 1)(sin a - 1) = -cos^2a

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества алгебра 9 тождества доказательство тождеств Тригонометрия sin^2a cos^2a математические тождества Новый

Давайте докажем каждое из данных тождеств по отдельности.

1. Тождество: sin^2a - cos^2a + 1 = 2 sin^2a

Для начала, вспомним основное тригонометрическое тождество:

• sin^2a + cos^2a = 1

Теперь преобразуем левую часть нашего тождества:

1. Начнем с выражения sin^2a - cos^2a + 1.
2. Заменим 1 на sin^2a + cos^2a, используя основное тригонометрическое тождество:
3. Получаем: sin^2a - cos^2a + (sin^2a + cos^2a) = sin^2a - cos^2a + sin^2a + cos^2a.
4. Теперь упростим: sin^2a - cos^2a + sin^2a + cos^2a = 2sin^2a.

Таким образом, мы пришли к правой части тождества:

sin^2a - cos^2a + 1 = 2sin^2a. Тождество доказано.

2. Тождество: (sin a + 1)(sin a - 1) = -cos^2a

Рассмотрим левую часть: (sin a + 1)(sin a - 1).

1. Это выражение является разностью квадратов, и его можно упростить:
2. (sin a + 1)(sin a - 1) = sin^2a - 1.

Теперь вспомним, что:

• 1 = sin^2a + cos^2a (основное тригонометрическое тождество).

Следовательно:

1. sin^2a - 1 = sin^2a - (sin^2a + cos^2a) = -cos^2a.

Таким образом, мы получили:

(sin a + 1)(sin a - 1) = -cos^2a. Тождество также доказано.

Итак, оба тождества доказаны!