Как можно доказать следующие тождества в тригонометрии?

1. sin(60-a) = cos(30+a)
2. ctg(80-a) = tg(10+a)

где a - это альфа.

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества тождества Тригонометрия доказательство синус косинус котангенс тангенс алгебра 9 класс формулы Углы равенства математические тождества Новый

Давайте разберем оба тождества по порядку и докажем их шаг за шагом.

1. Доказательство тождества sin(60-a) = cos(30+a)

Для начала вспомним, что синус и косинус имеют следующие взаимосвязи:

• sin(x) = cos(90° - x)
• cos(x) = sin(90° - x)

Теперь давайте преобразуем левую часть нашего тождества:

• sin(60 - a) = sin(60° - a)
• Теперь применим формулу синуса разности: sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y). Здесь x = 60° и y = a:

Тогда:

• sin(60 - a) = sin(60°)cos(a) - cos(60°)sin(a)
• Зная, что sin(60°) = √3/2 и cos(60°) = 1/2, подставляем эти значения:

Получаем:

• sin(60 - a) = (√3/2)cos(a) - (1/2)sin(a)

Теперь рассмотрим правую часть тождества cos(30 + a):

• cos(30 + a) = cos(30°)cos(a) - sin(30°)sin(a)
• Здесь cos(30°) = √3/2 и sin(30°) = 1/2:

Подставляем значения:

• cos(30 + a) = (√3/2)cos(a) - (1/2)sin(a)

Сравнивая обе части, видим, что:

sin(60 - a) = cos(30 + a), что и требовалось доказать.

2. Доказательство тождества ctg(80-a) = tg(10+a)

Для начала вспомним, что котангенс и тангенс имеют следующие взаимосвязи:

• ctg(x) = 1/tg(x)
• tg(x) = sin(x)/cos(x)

Теперь преобразуем левую часть нашего тождества:

• ctg(80 - a) = 1/tg(80 - a)
• Используем формулу тангенса разности: tg(x - y) = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x)tg(y)). Здесь x = 80° и y = a:

Тогда:

• tg(80 - a) = (tg(80°) - tg(a)) / (1 + tg(80°)tg(a))

Зная, что tg(80°) = ctg(10°), мы можем подставить это значение:

• ctg(10°) - tg(a) / (1 + ctg(10°)tg(a))

Теперь рассмотрим правую часть тождества tg(10 + a):

• tg(10 + a) = (tg(10°) + tg(a)) / (1 - tg(10°)tg(a))

Зная, что tg(10°) = ctg(80°), подставляем это значение:

• tg(10 + a) = (ctg(80°) + tg(a)) / (1 - ctg(80°)tg(a))

Сравнивая обе части, мы видим, что:

ctg(80 - a) = tg(10 + a), что и требовалось доказать.

Теперь мы доказали оба тождества! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!