Как можно доказать тождество: Cos^2(a-b) - cos^2(a+b) = sin2a * sin2b?

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества доказать тождество Cos^2(a-b) Cos^2(a+b) sin2a sin²B алгебра 9 класс тригонометрические тождества алгебраические преобразования Новый

Давайте разберемся с данным тождеством: Cos^2(a-b) - cos^2(a+b) = sin2a * sin2b. Мы можем использовать формулы приведения и тригонометрические идентичности для его доказательства.

Шаг 1: Используем формулы косинуса суммы и разности.

• Сначала вспомним, что:
• cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
• cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Теперь, подставим эти формулы в наше тождество:

Шаг 2: Найдем cos^2(a - b) и cos^2(a + b).

• cos^2(a - b) = (cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b))^2
• cos^2(a + b) = (cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))^2

Теперь разложим квадрат:

• cos^2(a - b) = cos^2(a)cos^2(b) + 2cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) + sin^2(a)sin^2(b)
• cos^2(a + b) = cos^2(a)cos^2(b) - 2cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) + sin^2(a)sin^2(b)

Шаг 3: Выразим разность cos^2(a - b) и cos^2(a + b).

Теперь вычтем второе выражение из первого:

Cos^2(a-b) - cos^2(a+b) = (cos^2(a)cos^2(b) + 2cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) + sin^2(a)sin^2(b)) - (cos^2(a)cos^2(b) - 2cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) + sin^2(a)sin^2(b))

После сокращения мы получаем:

Cos^2(a-b) - cos^2(a+b) = 4cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)

Шаг 4: Переписываем правую часть тождества.

Теперь, вспомним, что:

• sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
• sin(2b) = 2sin(b)cos(b)

Таким образом, произведение sin(2a) и sin(2b) будет равно:

sin(2a) * sin(2b) = (2sin(a)cos(a))(2sin(b)cos(b)) = 4sin(a)cos(a)sin(b)cos(b)

Шаг 5: Сравниваем обе части.

Теперь мы видим, что:

Cos^2(a-b) - cos^2(a+b) = 4cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) = sin(2a) * sin(2b)

Таким образом, мы доказали, что:

Cos^2(a-b) - cos^2(a+b) = sin(2a) * sin(2b).

Это и есть искомое тождество.