Используя тождество sin²α + cos²α = 1, упростите следующие выражения:

1. (sin α + cos α)² + (sin α - cos α)² =
2. sin⁴α + 2sin²α * cos²α + cos⁴α =
3. cos²α - cos⁴α + sin⁴α =

Алгебра 9 класс Тригонометрические тождества алгебра 9 класс тождество sin²α + cos²α = 1 упрощение выражений тригонометрические функции задачи по алгебре Новый

Давайте упростим каждое из данных выражений, используя известное тождество sin²α + cos²α = 1.

1. (sin α + cos α)² + (sin α - cos α)²

Сначала раскроем скобки в каждом из выражений:

• (sin α + cos α)² = sin²α + 2sinαcosα + cos²α
• (sin α - cos α)² = sin²α - 2sinαcosα + cos²α

Теперь сложим оба выражения:

(sin²α + 2sinαcosα + cos²α) + (sin²α - 2sinαcosα + cos²α)

Сложим подобные члены:

• sin²α + sin²α = 2sin²α
• cos²α + cos²α = 2cos²α
• 2sinαcosα - 2sinαcosα = 0

Таким образом, получаем:

2sin²α + 2cos²α = 2(sin²α + cos²α) = 2 * 1 = 2

2. sin⁴α + 2sin²α * cos²α + cos⁴α

Это выражение можно упростить, заметив, что оно является разложением на множители:

sin⁴α + 2sin²α * cos²α + cos⁴α = (sin²α + cos²α)²

Используя тождество, мы знаем, что:

(sin²α + cos²α)² = 1² = 1

3. cos²α - cos⁴α + sin⁴α

Здесь также можно использовать тождество. Сначала заметим, что sin⁴α можно выразить через cos²α:

sin⁴α = (1 - cos²α)² = 1 - 2cos²α + cos⁴α

Теперь подставим это в выражение:

cos²α - cos⁴α + (1 - 2cos²α + cos⁴α)

Сложим подобные члены:

• cos²α - 2cos²α = -cos²α
• cos⁴α - cos⁴α = 0
• 1

Таким образом, получаем:

1 - cos²α = sin²α

Итак, результаты упрощения выражений:

• (sin α + cos α)² + (sin α - cos α)² = 2
• sin⁴α + 2sin²α * cos²α + cos⁴α = 1
• cos²α - cos⁴α + sin⁴α = sin²α