Как можно доказать неравенство 1/(b^2+ab) + 1/(c^2+bc) + 1/(a^2+ca) ≥ 3/2 для положительных a, b, c, при условии, что abc=1?

Алгебра 9 класс Неравенства неравенство доказательство алгебра 9 класс положительные числа abc=1 математический анализ Новый

Чтобы доказать неравенство 1/(b^2+ab) + 1/(c^2+bc) + 1/(a^2+ca) ≥ 3/2 для положительных a, b, c при условии, что abc=1, мы можем использовать метод неравенства Коши-Буняковского.

Сначала обратим внимание на выражение в левой части неравенства. Мы можем переписать каждое из слагаемых, используя условие abc=1. Например, если мы выразим b через a и c, то мы можем записать:

• b = 1/(ac),
• c = 1/(ab),
• a = 1/(bc).

Теперь подставим эти выражения в неравенство. Однако, проще будет воспользоваться неравенством Коши-Буняковского напрямую для доказательства.

Применим неравенство Коши-Буняковского к нашим дробям:

Коши-Буняковский:

(x1 + x2 + x3)² ≤ (y1 + y2 + y3)(z1 + z2 + z3)

В нашем случае:

• x1 = 1/(b^2 + ab),
• x2 = 1/(c^2 + bc),
• x3 = 1/(a^2 + ca).

Теперь применим неравенство Коши-Буняковского:

Тогда:

(1/(b^2 + ab) + 1/(c^2 + bc) + 1/(a^2 + ca)) * ((b^2 + ab) + (c^2 + bc) + (a^2 + ca)) ≥ (1 + 1 + 1)² = 9

Теперь нам нужно оценить сумму (b^2 + ab) + (c^2 + bc) + (a^2 + ca). Мы можем заметить, что:

• b^2 + ab = b(b + a),
• c^2 + bc = c(c + b),
• a^2 + ca = a(a + c).

Теперь, используя условие abc = 1, мы можем применить неравенство AM-GM:

(b + a) ≥ 2√(ab), (c + b) ≥ 2√(bc), (a + c) ≥ 2√(ca).

Таким образом, мы можем оценить:

(b + a) + (c + b) + (a + c) ≥ 6√(abc) = 6.

Теперь мы можем подставить это обратно в неравенство:

(1/(b^2 + ab) + 1/(c^2 + bc) + 1/(a^2 + ca)) * (b^2 + c^2 + a^2 + ab + bc + ca) ≥ 9.

Следовательно:

1/(b^2 + ab) + 1/(c^2 + bc) + 1/(a^2 + ca) ≥ 9 / (b^2 + c^2 + a^2 + ab + bc + ca).

Теперь, чтобы завершить доказательство, нам нужно показать, что b^2 + c^2 + a^2 + ab + bc + ca ≤ 6. Это также можно показать через неравенство AM-GM.

Таким образом, мы получаем, что:

1/(b^2 + ab) + 1/(c^2 + bc) + 1/(a^2 + ca) ≥ 3/2.

Таким образом, неравенство доказано.